Corrige BTSIR Mathematiques 2008

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BTS SE 2008, corrigé, par Elodouwen 2) pour numériser un signal, on transforme en fait une fonction en suite.EXERCICE 1 Exemple1 voici une fonction f:E p =1) e(t)=U(t) donc ( )pAinsi, 1S p = H p ×E p =( ) ( ) ( )p(1+2p)Ensuite on décompose en éléments simples, en suivant l’énoncé:1 α βS p = = +( ) , on met au même dénominateur:1p 1+2p p( ) + p et voici une suite (x ) qui suit la fonction:i2α+ pα +βpα β 2+ == , on multiplie par 2 en haut et en bas:1 1p ⎛ ⎞+ p p p+⎜ ⎟2 ⎝ ⎠2α β α + p(2α +2β)+ == et on identifie:1p p 1+2p( )+ p22α +2β =0 β = −1⎧ ⎧ i⎛ ⎞α + p(2α +2β)=1 d’où d’où d’où:⎨ ⎨ Cette suite est définie par x = f . Plus le pas n est fin, plus la suite i ⎜ ⎟α =1 α =1 ⎝ ⎠n⎩ ⎩1 1 1 redessine la fonction précisément.S(p)= = −1p 1+2p p Ici on échantillone le signal d’entrée.( ) + p2On prend l’original maintenant:t−2s t =U t −e U t( ) ( ) ( )BTS Systèmes Électroniques 2008, corrigé, page 1 sur 710z−10 1 Cela ne ressemble pas à ce que l’énoncé donne.⎛ ⎞2)a) F z = H =( ) ⎜ ⎟ On part donc de ce que l’énoncé donne, pour voir:⎝ ⎠ 10z−10z+1 1+2z 20zz+1 l’énoncé donne − ; on met au même dénominateur:je multiplie par (z+1) en haut et en bas: z−1 21z−192z+1 z+1 z 21z−19 −20z z−1( ) ( ) z +zF z = =( ) = c’est pareil.z+1+2 10z−10 21z−19( ) (z−1)(21z−19) (z−1)(21z−19)2)b) X(z) est la transformée en z de U 0,2n . Malheureusement il n’y ( )On cherche à présent l’original:a pas de règle dans le formulaire pour la transformée de f αn à ( )npartir de ...

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Extrait

BTS SE 2008, corrigé, par Elodouwen

EXERCICE 1 1)e ( t) =U ( t ) donc E ( p) = 1 p Ainsi, S ( p) =H ( p ) ×E ( p) = p ( 1+2 1 p ) Ensuite on décompose en éléments simples, en suivant lénoncé: S ( p) = 1 = α + 1 β , on met au même dénominateur: p ( 1+2p ) p 2 +p α + β = 2 α +pα+βp p 1 +p = p ⎝ ⎛ ⎜ p+ 2 1 ⎠ ⎟ ⎞ , on multiplie par 2 en haut et en bas: 2 α + β +p == α+p p ( ( 2α ) +2β ) et on identifie: p1 1 +2p 2 α+p ( 2α+2β) =1doù ⎨ ⎩ ⎧ 2 α α = + 1 2β=0 doù ⎩ ⎨ α ⎧ β = = 1 −1 doù: S ( p) = 1 = 1 − 1 p ( 1+2p ) p 2 1 +p On prend loriginal maintenant: t − s ( t) =U ( t ) −e 2 U ( t )

2) pour numériser un signal, on transforme en fait une fonction en suite.

Exemple

voici une fonctionf:

et voici une suite ( x i ) qui suit la fonction:

Cette suite est définie par x i =f ⎝ ⎛ ⎜ n i ⎟ ⎠ ⎞ . Plus le pasnest fin, plus la suite redessine la fonction précisément. Ici on échantillone le signal dentrée.

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