Corrige BTSOPTI Mathematiques 2003

Description

demonstratum”, même sens, sert à indiquer la fin des longs calculs ou des longues SE 2003, corrigédémontrations. Dans certains livres on met aussi un point • ou un carré .EXERCICE 1 Calcul des premiers termes:PARTIE A 1 1I = −1 I =0 I = I =0 I = − I =0π 1 2 3 4 5 6π 1 1 π⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎛ ⎞ 3 5I = cos nx dx = sin nx = sin nπ −sin n( ) ( ) ( )πn ⎜ ⎟∫ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎧π ⎝ ⎠⎝ ⎠n n 2⎣ ⎦2 ⎪0sinpair2 ⎪1⎪Note: pour le terme général, on peut écrire que I = − sin=1+4k mais c’est juste pour l’info…⎨n1 π⎛ ⎞ n⎪I = − sin nn ⎜ ⎟ ⎪1sin =3+4k⎝ ⎠n 2 ⎪⎩npour l’autre intégrale une intégration par parties sera nécessaire π 1 π 1J = −1 J = − J = − − J =01 2 3 42 2 6 9Pour les parties on dispose des deux formules suivantes: π 1 −1J = − J =5 610 25 18uv′ = uv − u′v et u′v= uv − uv′[ ] [ ]∫ ∫ ∫ ∫ ⎧ 0sin=4k⎪ π 1⎪ − sin =1+4k2⎪2n n⎪Note: pour le terme général, on peut écrire que J = mais c’est juste pour l’info…Ici donc: n ⎨ 2− sin=2+4k⎪ 2nπ ⎪π π π 12 ⎪1 1⎡ ⎤ − − sin =3+4k22 2 ⎪⎩ 2n nJ = xcos(nx)dx = x sin(nx) − sin(nx)dxn ∫ ⎢ ⎥ ∫0 0n n⎣ ⎦0PARTIE Bππ nπ 1⎛ ⎞ 2 1) tracé de la courbe;J = sin −0− sin nx dx( )n ⎜ ⎟ ∫0⎝ ⎠2n 2 nπ2π nπ 1⎛ ⎞ ⎡ ⎤J = sin − − cos(nx)⎜ ⎟n 2⎢ ⎥⎝ ⎠2n 2 n⎣ ⎦ π0 12)a) a = f(t)dtπ 0 ∫π nπ 1 −π⎛ ⎞ 2π2J = sin + ⎡cos(nx)⎤n ⎜ ⎟ ⎣ ⎦2 2π0 note: on a le choix des bornes, il suffit d’intéger sur un intervalle de largeur . Comme la fonction est ⎝ ⎠2n 2 n paire, ce choix est le plus judicieux, car on peut écrire:π1π nπ 1 ⎛ nπ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a = 2 × f(t)dt par symétrieJ = sin + cos −1 cqfd. 0 ...

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• Publié par: aphrodite
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Extrait

SE 2003, corrigé

EXERCICE 1 PARTIEA π 1 1 ⎛ ⎛ π ⎞ ⎞ π ⎡ ⎤ I= π cos ( nx ) dx=sin ( nx ) =sin ( nπ ) −sinn ⎜ ⎜⎟ ⎟ ∫ ⎢ ⎥ π ⎝ ⎝⎠ ⎠ n n n2 2 ⎣ ⎦ 2 1 ⎛ π ⎞ I=−sinn ⎜ ⎟ n n ⎝ 2 ⎠ pour lautre intégrale une intégration par parties sera nécessaire

Pour les parties on dispose des deux formules suivantes: uv ′ = [ uv ] −u ′ v et u ′ v= [ uv ] −uv ′ ∫ ∫∫ ∫

Ici donc: π π π 2 ⎡ 1 ⎤ 2 1 2 J=xcos ( nx ) dx=xsin ( nx ) −sin ( nx ) dx ∫ 0 ⎢ ⎥ ∫ 0 n n n ⎣ ⎦ 0 π 1 π ⎛ nπ ⎞ 2 J=sin−0−sin ( nx ) dx ∫ 0 ⎜ ⎟ n 2n ⎝ 2 ⎠ n π 2 π ⎛ nπ ⎞ ⎡ 1 ⎤ J=sin− −cos ( nx ) n ⎜ ⎟ 2 ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ n 2n2 ⎣ ⎦ 0 π π ⎛ nπ ⎞ 1 2 J=sin+ ⎡ cos ( nx )⎤ ⎜ ⎟ 2 ⎣ ⎦ 0 n 2n ⎝ 2 ⎠ n π ⎛ nπ ⎞ 1 ⎛ ⎛ nπ ⎞ ⎞ J=sin+cos−1 cqfd. ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎜⎟ ⎟ n 2n ⎝ 2 ⎠ n ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠ la notationcqfd = “ce quil fallait démontrer”, ou parfoisqed =”quod erat

demonstratum”,même sens, sert à indiquer la fin des longs calculs ou des longues démontrations. Dans certains livres on met aussi un point • ou un carré. Calcul des premiers termes: 1 1 I=−1 I=0 I= I=0 I=− I=0 12 3 4 5 6 3 5 ⎧ ⎪0si n pair ⎪ 1 I sin1 4k Note: pour le terme général, on peut écrire que n =⎨−= + mais cest juste pour linfo n ⎪ ⎪ 1 si n=3+4k ⎪ ⎩n π1π1 J=−1J=− J=− − J=0 123 4 2 2 6 9 π1 −1 J=− J= 5 6 10 25 18 ⎧ 0si n=4k ⎪ π1 ⎪ − si n=1+4k 2 2n n ⎪ J= Note: pour le terme général, on peut écrire que n ⎨2 mais cest juste pour linfo −si n=2+4k ⎪ 2 n ⎪ π1 ⎪ − −si n=3+4k 2 ⎪ ⎩ 2n n PARTIEB 1 tracéde la courbe;

1 π 2)a) a=f ( t ) dt ∫ −π 0 2π 2π note: on a le choix des bornes, il suffit dintéger sur un intervalle de largeur. Comme la fonction est paire, ce choix est le plus judicieux, car on peut écrire: 1 π a=2×f ( t ) dt par symétrie ∫ 0 0 2π Ici il faut décomposer lintégrale en deux.