Corrige BTSSE Mathematiques 2006

Description

−1 SE 2006, corrigé 0,04z 0,04z⇔ Z z = ⋅ Z z = ⋅ Z z , il ne reste plus qu’à ( ) ( ) ( )y x x−2 21− z z −12PARTIE 1 factoriser en bas en utilisant z −1= z−1 z +1 .( )( )À propos des notations et du vocabulaire.zLes notations x n et y n désignent des fonctions de N dans R. Dans d’autres chapitres, on ( ) ( ) 2)a) Si x n = e n alors Z z = donc:( ) ( ) ( )xappelle cela des suites. En électronique on appelle cela signal discret. Le mot discret s’oppose z−1€ à continu.Discret = prenant des valeurs ponctuelles (image: les barreaux d’une échelle).€ € € Continu = prenant une plage de valeurs (image: le toboggan)€ échelon unité€ 20,04z 0,04zZ z = ⋅ Z z =( ) ( )y 2 x 2z −1 z +1 z−1( )( )b) On va décomposer cette fraction en éléments simples en utilisant la y ntechnique de l’identification, afin de retrouver l’expression de ( ) à discret continu partir de celle de Z z (transformée en z inverse).( )y€ Le mot signal est un mot de l’électronique; son équivalent strictement mathématique serait 0,04z A B Csimplement fonction (pour un signal continu) ou suite (pour un signal discret). J’écris donc = + + , attention c’est 2 2Un signal causal prend des valeurs nulles avant 0. z−1 z + 1z +1 z−1 z−1( )( ) ( ) € 20,04z0,04z et non pas .€ Technique de la décomposition en éléments simples: αz + ß A A A B B Bn n−1 1 n n−1 1= + +… + + + +… +n p n n−1 n n−1z +1 z−1 z−1 z−1 z−1 z +1 z +1 z +1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )€ Si en bas l’un des facteurs n’est pas décomposable (degré 2 ...

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Extrait

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SE 200 6, corrigé ⇔Z y ( z) = 1 0,04z −2 −1 ⋅Z x ( z) = 0 z , 2 0 −1 4z ⋅Z x ( z ) , il ne reste plus quà −z PARTIE 1 factoriser en bas en utilisant z 2 −1=z  propos des notations et du vocabulaire. dis a cret es c d h i a sc pi r t e r t  ose e p s p ,   o o s n 2)a) Si x ( n) =e ( n ) alo z ( − o 1 n )( c: z+1 ) . a L p e p s e n ll o e t  a c ti el o a n  s d  e x s (  n s ) e ue t it y s ( . n ) Enleéappenoinuqtcorce  elle engnsidéfosdetsnoitcnedN a d ls a i n g s n  a R lt  o s m   du eL ar  t . .Dn rsZ ( z) = z−1 d x àcontinu.  Disc  = p ena  nt des valeurs ponctuelles (image: les barreaux dune échelle). ret r Continu = prenant une plage de valeurs (image: le toboggan)  échelon unité 

Z y ( z) = 0, 2 04z ⋅Z x ( z) = 0,04z 2 z−1 ( z+1 )( z−1 ) 2 b) On va décomposer cette fraction en éléments simples en utilisant la technique de lidentification, afin de retrouver lexpression de y ( n ) à discret continu partir enzinverse). Le motsignalest un mot de lélectronique; son équivalent strictement mathématique s  erait de celle de Z y ( z ) (transformée simplementfonction(pour un signal continu) ousuite(pour un signal discret). ulles avant 0. Jécris donc ( z+1 0, ) 0 ( 4 z z −1 ) 2 ( = z− A 1 ) 2 + B z−1 + C z+1 , atte  ntion cest 0,04zet non pas 0,04z 2 .  Technique de la décomposition en éléments simples: = αz+ A n + A n− ) 1 n−1 +  + A z− 1 1 ( + B z+ n 1 ) n + ( B z+ n 1 − ) 1 n−1 +  + B + 1 1 ( z+1 ) n ( z−1 ) p ( z−1 ) n ( z−1 z Si en  bas lun des facteurs nest pas décomposable (de <0) alors on écrit: gré 2 avec∆    + B n + B n−1 signaux causals discrets signaux causals continus az 2 +bz+c α n z+ a′z  2 +b′z +c′ p =       az 2 +b A n z+c n + az 2 + A b n z −1 +c n−1 +  + az 2 + A b 1 z+c             c n−1 +  + a′z 2 +b B 1 ′z +c′        a′z 2 +b′z+c′ n a′z 2 +b′z+′   1) On a y ( n ) −y ( n−2) =0,04x ( n−1 ) .  I ( c z i + 0, 1 ) 0 ( 4z z−1 ) A 2 + B −1 + C A ( z+1) +B z 2 −1+C ( z−1 ) 2 On transforme enzdoù:Z y ( z ) −z −2 ⋅Z y ( z) =0,04⋅z −1 ⋅Z x ( z  = ) = Dans cette écriture, Z y ( z ) désigne la fonction Z y appliquée à la variablez. La transformée enz 2 ( z−1 ) z z+1 ( z−1 ) 2 ( z+1 )  etcrisdalgnisudelpmexeragianlidcsertp(duns expl.e)leabomcirav y ( n ) est donc une fonction continue Z y de la 0,04z = ( B+C ) z 2 + (A−2C ) z+ (A−B+C ) On modèl  e un pe  u cette équat  ion: ( z+1 )( z−1 ) 2 ( z−1 ) 2 ( z+1 )   Z y ( z ) −z −2 ⋅Z y ( z) =0,04⋅z −1 ⋅Z x ( z ) ⇔Z y ( z ) 1−z −2 =0,04⋅z −1 ⋅Z x ( z ) on identifie, doù:

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