Corrigé du baccalauréat S Amérique du Sud

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Corrigé du baccalauréat S Amérique du Sud \ 16 novembre 2011 Exercice 1 4 points Commun à tous les candidats 1. a. Voir à la fin. b. Il semble que la suite est décroissante et qu'elle converge vers 1. 2. a. Initialisation : u0 = 4> 1. L'inégalité est vraie au rang 0 ; Hérédité : Supposons qu'il existe un naturel k > 0 tel que uk > 1. Alors uk +1> 2? 1 uk +1 < 1 2 ? 4 uk +1 < 2?? 4 uk +1 >?2? 3? 4 uk +1 > 1. Or 3? 4 uk +1 =uk+1. On a donc démontré que si uk > 1, alors uk+1 > 1. Conclusion : on a démontré par récurrence que quel que soit le naturel n, un > 1. b. La fonction f somme de fonctions dérivables sur ]?1 ; +∞[ est dérivable sur cet intervalle et f ?(x)= 4(x+1)2 > 0 car quotient de deux nombres supérieurs à zéro. La fonction f est donc croissante sur ]?1 ; +∞[. Montrons par récurrence la décroissance de la suite : Initialisation : u1 = 2,2< u0 = 4. La relation est vraie au rang 0 ; Hérédité : Supposons qu'il existe un naturel k > 0 tel que uk < uk?1 ; la fonction f étant croissante (tous les termes étant supérieursà 1), on a f (uk

• dé vert


• vecteur directeur de d?


• ?1 ??u


• triangle bad


• lnx ??


• intersection du cercle précédent


• ??


• points commun

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 novembre 2011
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Extrait

Durée:4heures
[CorrigédubaccalauréatSAmériqueduSud\
16novembre2011
Exercice1 4points
Communà touslescandidats
1. a. Voiràlafin.
b. Ilsemblequelasuiteestdécroissanteetqu’elleconvergevers1.
2. a. Initialisation:u ?4?1.L’inégalitéestvraieaurang0;0
Hérédité:Supposonsqu’ilexisteunnaturelk>0telqueu ?1.k
1 1 4 4 4
Alorsu ?1?2) ? ) ?2)? ??2)3? ?1.k
u ?1 2 u ?1 u ?1 u ?1k k k k
4
Or3? ?u .k?1
u ?1k
Onadoncdémontréquesiu ?1,alorsu ?1.k k?1
Conclusion:onadémontréparrécurrencequequelquesoitlenatureln,u ?1.n
b. La fonction f somme defonctions dérivablessur ]?1 ; ?1[ est dérivablesur cet intervalle
et
40f (x)? ?0carquotientdedeuxnombressupérieursàzéro.
2(x?1)
Lafonction f estdonccroissantesur]?1;?1[.
Montronsparrécurrenceladécroissancedelasuite:
Initialisation:u ?2,2?u ?4.Larelationestvraieaurang0;1 0
Hérédité : Supposons qu’il existe un naturel k> 0 tel que u ? u ; la fonction f étantk k?1
croissante(touslestermesétantsupérieursà1),ona f (u )? f (u ) () u ?u .k k?1 k?1 k
Onadoncdémontréquequelquesoitlenatureln,u ?u .n?1 n
c. Onadémontréquelasuite(u )estdécroissanteetminoréepar1:elleestdoncconvergenten
versunnombre`supérieurouégalà1.
Lafonction f estcontinuecardérivablesur]?1;?1[;larelationderécurrence
4
u ? f u donneàlalimite`? f(`) () `?3? () `(`?1)?3(`?1)?4( )n?1 n
`?1
2 2 2() ` ?`?3`?3?4?0 () ` ?2`?1?0 () (`?1) ?0 () `?1?0 () `?1.
Lasuite(u )convergevers1.n
Exercice2 4points
Communà touslescandidats
1. a. Recopieretcompléterl’arbredeprobabilitésci-dessous.
1
6 S1
2 V
3
S5 1
6
4
6 S1
1
R3
S2 1
6BaccalauréatS
b. D’aprèslaloidesprobabilitéstotalesona:
2 1 1 4 2 4 6 1
P(S )?P(V\S )?P(R\S )? ? ? ? ? ? ? ? .1 1 1
3 6 3 6 18 18 18 3
2 1
2. a. Letiraged’undévertauneprobabilitéde etceluidudérougede .
3 3
1
Danschaque cas lelancer n fois desuite est un schéma deBernouilli deparamètres n et
6
4
pourledévertetden et pourledérouge.Laprobabilitédetirern 6estdonc:
6
dérougedévert
z }| { z }| {µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶n n n n2 1 1 4 2 1 1 2
P S ? ? ? ? ? ? ? ? .( )n
3 6 3 6 3 6 3 3
b. D’après la question précédente la probabilité d’avoir tiré le dé vert puis obtenu n fois 6 estµ ¶n2 1
égaleà ? etlaprobabilitéd’avoirtirén foisdesuitele6estégaleàP(S ).n
3 6
tirern6ettirerledérouge
Onadoncp ?p (tirerledérouge)? ?n tirern6
tirern6µ ¶n1 2
? n23 3 nµ ¶ µ ¶ ?enmultipliant par3?3 , p ? ?nn n 1 n2 1 1 2 2? ?2n2? ? ?
3 6 3 3
n2 1 1 1 1
? ? ? ? .¡ ¢n1?n n 1?2n ?2n 1 12 ?2 2 ?1 2?2 ?1 2? ?1 2? ?12n2 4
h i¡ ¢ ¡ ¢1 n n1 1c. Onap >0,999 () >0,999 () 1>0,999 2? ?1 () 1>1,998 ?¡ ¢n n 4 412? ?14
1,998 1998 n0,999 () 0,001 () 1> () 4 ? 1998 () nln4> ln1998 () n>
n n4 4
ln1998
?5,4
ln4
Conclusion:n ?6.0
Exercice3 4points
Communà touslescandidats
21. Oba lim x ??1et lim 1?lnx??1,doncparproduitdelimites: lim g(x)??1.
x!?1 x!?1 x!?1
2 22. Ona g(x)?x ?x lnx.
2 2 2Ona limx ?0etonsaitque limx lnx?0,doncparsommedelimites: limx ?0.
x!0 x!0 x!0
3. g estdérivablesur]0;?1[carproduitdesommesdefonctionsdérivablessur]0;?1[etsurcet
intervalle: µ ¶
10 2g (x)? 2x(1?lnx)?x ? ? ? 2x?2xlnx?x? x?2xlnx? x(1?2lnx) qui est du signe de
x
1?2lnx puisque x estpositif.
1 1 1
2 2Or1?2lnx?0 () 1?2lnx () ?lnx () e ?x etdemême1?2lnx?0 () x?e (ou
2p
x? e).
i h i h
1 1
2 2La fonction est donc croissante sur 0; e et décroissante sur e ;?1 , avec un maximum
³ ´ h i ³ ´2 ¡ ¢1 1 1 e1 12 2 2f e ? e 1?lne ?e? 1? ?e? ? .2 2 2
i h
1 e e
24. Sur 0; e , g croîtde0à ,puisdedécroîtde à?1.
2 2 i h
1
2Lafonction g étantcontinuecardérivables’annuledoncenpointuniquede e ;?1 telque:
AmériqueduSud 2 16novembre2011BaccalauréatS
2g(x)?0 () x (1?lnx)?0 () 1?lnx (puisque x6?0) () 1?lnx () x?e.
Conclusion:lafonction g estpositivesur]0; e[etnégativesur]e;?1[.
PartieBReprésentationgraphiqueetairesouslacourbe
1. Voirl’anexe2.
22. Ona g(1)?1 (1?ln1)?1.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbeC au point d’abscisse 1 est le nombre dérivé
0f (1)?1(1?2ln1)?1.
UneéquationdelatangenteT àlacourbeC aupointd’abscisse1estdonc:
0M(x ; y)2(T) () y?g(1)?g (1)(x?1) () y?1?x?1 () y?x.
3. Onavuquelafonction g estpositivesur]0; e[,doncsur]1; e[.
L’aire, en unités d’aire de la surface délimitée par la courbeC, l’axe des abscisses et les droites
d’équationsrespectives x?1et x?eestdoncégaleàl’intégrale:
Ze
2A ? x (1?lnx)dx.
1
0 2u ?x v?1?lnx
3Enposant: x 10u? v ??
3 x
Toutescesfonctionsétantcontinues,onpeutintégrerparparties:
· ¸ Z µ ¶ · ¸ Ze e3 e 3 3 e 2x x 1 x x
A ? (1?lnx) ? ? ? dx? (1?lnx) ? dx?
3 3 x 3 31 11 1
· ¸e3 3 3 3 3 3x x e 1 e 1 e 4 e ?4
(1?lnx)? ? (1?1)? ? ? ? ? ? (u.a.).
3 9 3 3 9 9 9 9 91
Exercice4 3points
Communà touslescandidats
2 2 2 2 21. z ?2z?5?0 () (z?1) ?1?5?0 () (z?1) ?4?0 () (z?1) ?(2i) ?0 ()
(z?1?2i)(z?1?2i)?0
L’équationadoncdeuxsolutionscomplexesconjuguées:1?2iet1?2i.
2. a. Voirlafigureci-dessous.
p p
z ?z 1?2i?1? 3?i?3i? 3B C
b. ? ?p p
z ?z 1?2i?1? 3?i i? 3A C¡ p ¢¡ p ¢ p p p
?3i? 3 i? 3 p3?3i 3?3?i 3 ?4i 3
? ? ?i 3.¡ p ¢¡ p ¢ 2 ?4i? 3 i? 3 i ?3
pz ?zB C
c. ?i 3 (imaginaire pur) : cette égalité montre qu’un argument duquotient est égalà
z ?zA C³ ´? ?! ?! ?
,soit CB, CA ? .
2 2 p
ConclusionletriangleABCestrectangleenC.(nonisocèlecarCB? 3CA)
3. Le triangle ABC est rectangle d’hypoténuse [AB]; il est donc inscrit dans un cercleΓ decentre le
1
milieude[AB]soitlepointd’affixe1etderayon AB=2.
2³ ´!?
Danslasymétrieautourdel’axe O, u lespointsAetBsontsymétriquesdemêmequelespoints
CetDpuisqueleursaffixessontconjuguées.
LesymétriquedutriangleABCestdoncletriangleBAD.Lasymétrieétantuneisométrie,letriangle
BADestluiaussirectangleenDdoncinscritdanslemêmecercleΓcentréaumilieude[AB]etde
rayon2.
AmériqueduSud 3 16novembre2011BaccalauréatS
4. C est le point partie réelle positive, intersection du cercle précédentΓ et de la droite d’équation
y?1.idempourDavecladroited’équation y??1.
A
C
1
!?
v
!?O
?1 u 1 2
?1
D
Γ
?2
B
Exercice5 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
Proposition1:
Faux:ondevraitavoirt?1,maisalorsx?1.
Proposition2:
2x?3y?z?0».LadroiteD aunvecteurdirecteurdecordonnées(2;?3; 1)quiestunvecteurnormal
auplan:uneéquationdeceplanest2x?3y?z?a etcommeOappartientàceplanonaa?0.Vrai.
!?
Proposition3:Onavuqu’unvecteurdirecteurdeD est u (2;?3; 1);demêmeunvecteurdirecteurde
!?0D est v (3; 1; 3).
!? !?
Oru ?v ?6?3?36?0:lesvecteursnesontpasorthogonaux,donclesdroitesnesontpasorthogonales.
Proposition4:Lesdroitessontcoplanairessiellessontparallèles,cequiestfauxpuisqueleursvecteurs
directeursnesontpascolinéaires,ousiellesontunpointencommun.
0 0 0Ondevraitdoncavoirz?t?3t ?2soitenremplaçantdansx?2t?1?2(3t ?2)?1?6t ?5.
50 0 0 0 0Or6t ?5?3t () 3t ?5 () t ? ett?3t ?2?5?2?3.
3
5 110Or avec l’équation deD, on aurait y??9?2??7 etavec celle deD , onaurait y? ?2? . Iln’y a
3 3
doncpasdepointcommun.
0Conclusion:D etD nesontpascoplanaires.Faux. p p
j?2?3?1j 2 2 14 14
Proposition5:Onad? p ?p ? ? .Vrai.
2 2 2 14 7142 ?(?3) ?1
Exercice5 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
AmériqueduSud 4 16novembre2011
bbbbBaccalauréatS
? Proposition1:
Ona2011?7?287?2, donc2011?2 [7].
3 3 3 3Onendéduitque2011 ?2 [7]ouencore2011 ?8 [7]ouplussimplement 2011 ?1 [7].
¡ ¢6702011 3?670?1 3?670 3Or2011?3?670?1, donc2011 ?2011 ?2011?2011 ?2011? 2011 .
¡ ¢ ¡ ¢670 6703 3 670 3Onavuque2011 ?1 [7],donc 2011 ?1 soit 2011 ?1
¡ ¢6703 2011Finalement comme 2011?2 [7] et 2011 ?1 par produit on obtient 2011 ?2?1 [7] soit
20112011 ?2 [7].Vrai.
0 0? Proposition2:Faux:Sia etb sontpremiersentreeux,ilexistedeuxentiersu et v telsque
0 0 0 0 0 0au ?bv ?1)3(au )?3(bv )?3 () a(3u )?b(3v )?3.
0 0Avecu?3u etv?3v ,onabien au?bv?3etPGCD(a ; b)?1.
¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢¡ ¢2 22 3 9 3 49 3 7 3 7? Proposition3:n ?3n?10? n? ? ?10? n? ? ?0 () n? ? n? ? ?2 4 2 4 2 2 2 2
(n?2)(n?5).
Pourn?5lenombreestnuldoncnonpremier.
Pourn?6lenombreest8quin’estpaspremier
Pourn?6, lenombreadeuxdiviseursaumoinsdistinctsde1etdelui-même :n?2etn?5:iln’est
doncpaspremier.Vrai
2 2 2? Proposition4:A(?2; ?1; ?)2Γ () 4?1?5? () 5?5? ()