Corrige EDHECL Mathematiques 2007 HEC S

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Corrigé Mathématiques 2007 option scientifique Exercice 1 ................................................................................... −x1 e1) Pour tout x élément de IR , x + est différent de 0 donc la fonction x a est bien définie + 1n x +nsur IR . De plus, c’est le quotient de deux fonctions continues sur IR , elle est donc continue sur IR + + . +Ceci montre que l’intégrale définissant u est seulement impropre en sa borne + ∞. n1 1Enfin, pour tout réel x positif, on a : , 0 ≤ ≤ . 1 1x +n n−x −xe e–xEn multipliant par e > 0, on obtient : 0 ≤ ≤ , d’où l’on déduit : 1 1x +n n−xe –x0 ≤ ≤ n e . 1x +n+ ∞ −xComme l’intégrale e dx est convergente, le critère de comparaison pour les intégrales de ∫ 0+ ∞⌠ − xe⎮fonctions continues et positives assure que dx est, elle aussi, convergente. 1⎮ x +⌡0 nLa suite (u ) est bien définie. n n ∈IN* 1 12) a) ∀x ≥ 1, x + ≥ 1 + ≥ 1. n n1Par décroissance de la fonction inverse sur [1, +∞[, on en déduit : ≤ 1. 1x +n1 1Comme de plus, 0 ≤ , on a : ∀x ≥ 1, 0 ≤ ≤ 1. 1 1x + x +n n1 −xe–x –xEn multipliant par e > 0, on obtient : ∀x ≥ 1, 0 ≤ ≤ e . 1x +nEn intégrant, bornes dans l’ordre croissant, de 1 à A (pour tout A ≥ 1), on a alors : A A⌠ ⌠− x − xAe e 1− x –A⎮ ⎮0 ≤ dx ≤ e dx , soit 0 ≤ dx ≤ – e . ∫1 1 1 e⎮ ⎮x + x +⌡ ⌡1 1n nOr l’intégrale du milieu a une limite finie lorsque A tend vers + ∞, cette limite étant w (qui existe n1 1 –Ad’après la question 1) et lim ( – e ) = . ...

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Extrait

 

Corrigé Mathématiques 2007

option scientifique

Exercice 1 ...................................................................................

1) tout Pourxélément de IR   + ,xno c0 d  tedréneion onctla ft esffdi + 1   xa e −x d neib tse  1  ieinéf n x+ n sur IR + . De plus, c’est le quotient de deux fonctions continues sur IR + , elle est donc continue sur IR    + . Ceci montre que l’intégrale définissantu n est seulement impropre en sa borne +∞. Enfin, pour tout réelxpositif, on a : , 0≤  1  1 ≤ 1 . 1     x+ n n −x−x En multipliant pare   –x > 0, on obtient : 0≤  e 1 ≤  e t : , 1 ’l ùo’d iudéd no x+ n n −x 0≤  e  ≤ n e  –x . 1   x+ n + Comme l’intégrale ∫ 0 ∞ e −x dx convergente, le critère de comparaison pour les intégrales de est ⌠  − + ∞ fonctions continues et positives assure que ⎮ ⎮ ⌡ 0 e x+ x 1 dxest, elle aussi, convergente. n La suite (u n ) n∈IN* est bien définie.   1 1

2) a)∀x ≥1,x+≥1 +≥1. n n

Par décroissance de la fonction inverse sur [1,   +∞[, on en déduit :  1  1 ≤1. x+ n Comme de plus, 0≤ , on a :  1  1 ∀x ≥1, 0≤  1  1 ≤1. x+x+ n n

 

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