Corrige ENAC ICNA Epreuve optionnelle 2000 PC

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AAAAAAAAAAAAAAICNA - SESSION 2000 ÉPREUVE OPTIONNELLE DE PHYSIQUE CORRIGÉ Électromécanique. 1. On se place dans le référentiel R – supposé galiléen – lié à la partie fixe du circuit (condensateur, profil circulaire). La f.é.m. induite dans ce circuit, en notant M un point quelconque de la tige métallique T = OA, est définie par la circulation du champ électromoteur de Lorentz E =v ∧B le long du circuit, msoit : 1 2e()t = (v ∧B).d =()vM /R ∧B .dM =[]()r θe ∧()Be .()dre = B θ θ z r∫ ∫ ∫ 2C OA 0Remarque. On peut aussi obtenir ce résultat à l'aide du flux coupé. 2. Si on néglige la résistance du circuit, l'intensité du courant induit est telle que : dq (t ) de (t ) 1 2i()t = = C = C B θ dt dt 23. Le moment résultant des forces de Laplace par rapport à l'axe de rotation ∆ = Oz est : 1 4 2M ()∆ =M (O).e =e . OM ∧(i dM ∧B) = − C B θ L L z z ∫ 4OA4. On applique à la tige T le théorème du moment cinétique par rapport à ∆ dans R, soit : d()σ()O, T /R .e z =[]M ()O +M(O / ∆ → T)+OA ∧N +OG ∧ mg .e L z dt RCompte tenu que : 1 2♦ σ()O, T /R .e = I(∆)θ = m θ z 3♦ MO / ∆ → T .e = 0 car la liaison pivot est supposée parfaite z♦ OA ∧N =0 car le contact tige/profil circulaire est sans frottement 1♦ ()OG ∧ mg .e = − mg sin θ z 2on obtient l'équation différentielle du mouvement de T dans R : 6mgθ + sin θ = 0 3 24m + 3C BAu voisinage de la position d'équilibre stable, θ = 0, de la tige cette équation différentielle se ...

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Extrait

Électromécanique.

CORRIGÉ

1.On se place dans le référentielR supposé galiléen  lié à la partie fixe du circuit (rnocnsdeeuat, profil circulaireLa f.é.m. induite dans ce circuit, en notant M un point quelconque de la tige métallique). T = OA, est définie par la circulation du champ électromoteur de LorentzE m v∧Ble long du circuit, soit :

A e ( t ) = ∫ ( v∧B ) .dA= ∫ ( v ( M /R ) ∧ B ) .dM= ∫ r  θe θ ∧ ( Be z ) . ( dre r ) = 2 1 A 2 Bθ   COA 0

Remarque.ce résultat à l'aide du flux coupé.On peut aussi obtenir  2.Si on néglige la résistance du circuit, l'intensité du courant induit est telle que : i ( t ) = qd d (t t ) =C d ed(t t ) = 1 2 CA 2 B  θ  

3.

Le moment résultant des forces de Laplace par rapport à l'axe de rotation∆= Oz est : M e ei d  1  C B  M L (∆) = L (O). z = z . ∫ OM∧ (M∧B) = − 4 A 4 2  θ  OA

4.à la tige T le théorème du moment cinétique par rapport àOn applique ∆dansR, soit :   d(σ (OR)e z  [ ) = L ( ) ( O / T ) m ] . z   ,T/. td   R MO+M +∆ →OA∧N+OG∧g e Compte tenu que : ♦ σ (O, T /R).e z =I(∆)θ  = 1 3 mA 2 θ   ♦M ( O /∆ →T ) .e z =la liaison pivot est supposée parfaite 0 car ♦OA∧N=0car le contact tige/profil circulaire est sans frottement m n ♦(OG∧mg).e z = − 2 g 1 Asiθ on obtient l'équation différentielle du mouvement de T dansR:  θ  + 6mg θ = sin 0 4mA+3CA 3 B 2 Au voisinage de la position d'équilibre stable,θ e = 0, de la tige cette équation différentielle se linéarise en :  θ + m6g C 3 B 2 θ =0 4mA+3A On a donc des oscillations harmoniques de pulsation : ω = 6mg 1 4mA+3CA 3 2  B

5.par une bobine d'inductance propre L et de résistance négligeableSi on remplace le condensateur l'équation électrique du circuit devient : L di ( t ) =  ) (  = 1 A 2 B  θ  e t dt 2 et s'intègre en :

AC