Corrige ENAC Mathematiques 2008

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6CONCOURSDERECRUTEMENTD’ELEVES PILOTEDELIGNEANNEE 2008EPREUVE DE MATHEMATIQUESQuestion 1 :A)FAUXB)VRAIC)VRAID)FAUXExplication 1 :A) Pour θ =0, on obtient 1 =16+5 ce qui est faux. Donc A) est faux.B)5 5 3 2 4cos(5θ) = Re((cosθ +isinθ) ) = cos θ−10cos θsin θ+5cosθsin θ5 3 2 2 2 5 3= cos θ −10cos θ(1−cos θ)+5cosθ(1 −cos θ) =16cos θ −20cos θ +5cosθ.Donc B) est vrai.π 5 3C) Pour θ = , on obtient 16cos θ−20cos θ+5cosθ =0.10π 5 3 4 2 4 2cos est donc une l’une des racines de P =16X −20X +5X =X(16X −20X +5) ou encore de Q =16X −20X +510πcar cos =0.10 ! !√ √ 25 5 5+ 5 5− 54 2 2 2 216X −20X +5 =16 X − − =16 X − X − .8 4 8 8 r r r√ √ √5± 5 π π 5− 5 5+ 5Les racines de ce polynôme sont les nombres ± . Puisque cos > 0, cos ∈ , . Enfin,8 10 10 8 8r r√ √5− 5 π π π 5+ 5=0,5...< cos < cos et donc cos = . La réponse C) est donc vraie.8 6 10 10 8D) et par suite, la réponse D) est fausse.Question 2 :A)VRAIB)FAUXC)FAUXD)FAUXExplication 2 :√ √′ √ √ √z −z ( 3−1)+i( 3+1) 1I iπ/6= = (( 3−1)+i( 3+1))(1 −i) = 3+i =2e .z−z 1+i 2IπLa similitude considérée est de rapport 2 et d’angle . Donc B), C) et D) sont faux et A) est vrai6chttp ://www.maths-france.fr 1 Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés.6Question 3 :A)FAUXB)FAUXC)FAUXD)FAUXExplication 3 : ! n n n nX X Xn n 1−cos(2kθ) 1 n 0 2 −12A) sin (kθ) = = −1 − = . La réponse A) est fausse.k k 2 2 k 2 2k=1 k=1 k=0 n n nX Xn n cos(Kπ)nB) Pour θ∈πZ, cos(2kθ) = =2 −1 = ...

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• Publié par: shin
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• Langue: Français

Extrait

CONCOURSDERECRUETEMTN ’DLEVESEIPTELOLIDEE A GN EENN8002 ERPEDEVUTAMETIQUHEMAES thpt/:w/wwm.tash

Explication 1 : A) Pour θ = 0 , on obtient 1 = 16 + 5 ce qui est faux. Donc A) est faux. B) cos ( 5θ ) = Re (( cos θ + i sin θ ) 5 ) = cos 5 θ − 10 cos 3 θ sin 2 θ + 5 cos θ sin 4 θ = cos 5 θ − 10 cos 3 θ ( 1 − cos 2 θ ) + 5 cos θ ( 1 − cos 2 θ ) 2 = 16 cos 5 θ − 20 cos 3 θ + 5 cos θ Donc B) est vrai. C) Pour θ = 1 π 0 , on obtient 16 cos 5 θ − 20 cos 3 θ + 5 cos θ = 0 . cos 1 π 0 est donc une l’une des racines de P = 16X 5 − 20X 3 + 5X = X ( 16X 4 − 20X 2 + 5 ) ou encore de Q = 16X 4 − 20X 2 + 5 car c π 6 = 0 . os 10 16X 4 − 20X 2 + 5 = 16  X 2 − 8 5  2 − 5 4 = 16
X 2 − 5 + 8 5 !
X 2 − 5 − 8 5 ! . Les racines de ce polynôme sont les nombres ± 5 ± 8 5 . Puisque cos 1 π 0 >0 , cos 1 π 0 ∈  5 − 8 5  5 + 8 5  . Enfin, 5 − 8 5 = 0 5 < cos π 6 < co π et donc cos 1 π 0 = 5 + 8 5 . La réponse C) est donc vraie. s 10 D) et par suite, la réponse D) est fausse. Question 2 : A) VRAI B) FAUX C) FAUX D) FAUX

Question 1 : A) FAUX B) VRAI C) VRAI D) FAUX

s.

Explication 2 : z ′ − z I = ( √ 3 − 1 ) 1 + + i i ( √ 3 + 1 ) = 2 1 (( 3 − 1 ) + i ( 3 + 1 ))( 1 − i ) = 3 + i = 2e iπ6 . z − z I La similitude considérée est de rapport 2 et d’angle 6 π . Donc B), C) et D) sont faux et A) est vrai

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