Corrige UTBM Mathematiques applications 2005

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• Publié par: shin
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Extrait

ersible 1. ecteurs 2005 : Mercredi aleur 18 les jan son vier Soit 2006 et Final Soit de v l'UV matrice MT31 les Dur t é son e Ev : v 2 déduire heures à . propres Une En feuille A4 ourquoi . seul t de la notes Retrouv autorisée. A les autorisée. gra Seules par les l'in explications par matrice et matrice précises 5. seron haque t prises domaine en par les lors propre. de la propres 3. Les diagonalisable. 2. 1, propres 2 ter et domaine 3 Quelle son aleur t ? indép en endan dénition, ts. de 3. 1 ordonnées Soit tre le domaine matrice Automne 1 Chamoret aluer déni tégrale par dénie : : Dominique in et la obtenir diagonale our la p En oissant propre. v dé e dr 2 l'or le dans asso tel déni que : es v opr déduire pr 4. valeurs aleur les haque a à anger asso r sous-espaces on Déterminer : ? 1. P Représen est ter La graphiquemen et t de le aleurs domaine Représen que graphiquemen emar le . v Quelle . est Déterminer la v v de aleur aire de 2. son er, aire utilisan ? la 2. 1. Retrouv l'aire er, Partie en . utilisan Déterminer t la de dénition, R de : vité. l'aire 3 de la que de telles donnée . 3. est D1  2D = (x,y)∈R |x|+|y|6 21 D1 A D1 1 I ZZ 1(x+y) 2I = e dx dy D1 D2  2 2 2D = (x,y)∈R |x +y 6 1, |y|6x, x> 02 D2 A D2 2 M (R)3  −4 −6 0 A = 3 5 0 3 6 5 A A −1D Q A = Q D Q     0 1 −2 1 2 1 −1   Q = 0 −1 1 Q = −1 −2 0 1 1 0 −1 −1 0suiv de ec B se On que se trer prop les ose v de nalemen résoudre alen le t système (1), diéren ose tiel an suiv initiales an (1) t trois : En Chamoret tes Dominique suiv . où système système du 2 solution les la tenan Donner v 5. initiales . : Donner 4. (d) les (3). (3) (2), tes (1), diéren équations résoudre des qu'il 1. système de est , à , solutions a les : déduire équiv En le (c) 2. hoisi. (2), équations t résoudre t degré main de a nôme ec oly- p suiv d'un tes forme prop la On sous . particulière solution ec une a her (2) herc : an (3), tielles (2), équations (1), les équations t des faut déduire 3. our Vérier P le (b) : an asso équiv homogènes t équations : les initiales résoudre les (3), v (2), et (1), Partie équations à des alen est où our que P Mon (a) et ). (3  x˙ (t)−4x (t)−6x (t) = 8t+11 1 2 (S) x˙ (t)+3x (t)+5x (t) =t2 1 2 x˙ (t)+3x (t)+6x (t)+5x (t) = 63 1 2 3  x (0) = 01 (CI ) x (0) = 0x 2 x (0) = 03 (S) ˙X(t)+A X(t) = Φ(t),       x˙ (t) x (t) 8t+11 1 ˙      X(t) = x˙ (t) X(t) = x (t) Φ(t) = t2 2 x˙ (t) x (t) 63 3 (S) ˙Y(t)+D Y(t) = Ψ(t), −1 −1Y(t) = Q X(t) Ψ(t) = Q Φ(t)  y (0) = 01 (CI ) y (0) = 0y 2 y (0) = 03 y˙ (t)+5y (t) = 10t+71 1 y˙ (t)+2y (t) = −10t−12 2 y˙ (t)−y (t) = −9t−13 3 (CI )y y y y1 2 3 Y X (S)utilisan Automne graphiquemen 2005 en Mercredi a 18 1 jan  vier précéden 2006 par Co . rrection graphique du ts nal en de déduit l'UV te, MT31 la Dur : é v e 2. : t 2 On heures Représen . T Une PSfrag feuille déduit A4 , : seul et de on notes , autorisée. question t autorisée. En Corr dénition e ons  1 Nous 1. et Représen que tation , graphique de de Chamoret tation .  On ab. a  la replacemen situation et suiv : an , te On : et  1 Dominique D x> 0 y > 0 x+y6 2 ⇒ y6 2−x x> 0 y < 0 x−y6 2 ⇒ x−26y x< 0 y > 0 −x+y6 2 ⇒ y6 2+x x< 0 y < 0 −x−y6 2 ⇒ −x−26y 06x6 2 ⇒ x−26y6 2−x −26x6 0 ⇒ −x−26y6 2+x y −2 x2 D A(D) = 8 ZZ A(D) = dx dy D ZZ A(D) = dx dy D    Z Z Z Z0 2+x 2 2−x = dy dx+ dy dx −2 −x−2 0 x−2Z Z0 2 = (2x+4) dx+ (4−2x) dx −2 0 Z Z0 2 = 2 (x+2) dx+ (2−x) dx −2 0 = 8xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx a que Nous xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx a xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx v Représen ons xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx par xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx dénition xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx : xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 3. domaine Chamoret e Dominique xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx : xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx donc xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx a xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx On xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx et xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx que xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx tels xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx et On olaires. graphique p 2 ordonnées : 2 en xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx passe xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx on xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx l'aire, xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx déterminer xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx our xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx P xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 2. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx de xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx graphique xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx tation xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Représen xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx  xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 2 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx ab. . T ts . replacemen du PSfrag tation xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 1. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Corr xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx donc xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx On xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx ZZ 1(x+y) 2I = e dx dy D    Z Z Z Z0 2+x 2 2−x 1 1(x+y) (x+y) 2 2= e dy dx+ e dy dx −2 −x−2 0 x−2Z Z0   2   1 1 1 1 1 1x x+1 − x−1 x 1− x x−1 2 2 2 2 2 2= 2 e e −e dx+2 e e −e dx −2 0 Z Z0 2 x+1 −1 x−1= 2 (e −e ) dx+ (e−e )dx −2 0h i   0 2x+1 −1 x−1 = 2 e −e x +[ ex−e −2 0 −1 −1 = 2e−6e +2e+2e 1 = 4(e− ) e 1 I = 4(e− ) e πD A =2 2 4 y x D   π 7π2 2 2D = (x,y)∈R |x +y 6 1, |y|6x, x> 0 ⇔U = (r,θ) 06r6 1 θ∈ [0, ]∪[ ,2π]2 2 4 4 ZZ A = dx dy2 D2ZZ = r dr dθ U2Z π Z Z Z1 2π 1 4 = r dr dθ+ r dr dθ 7π0 0 0 4 π    Z Z1 12π2 2 4 r r = dθ+ dθ 2 7π 20 0 0 4 π = 4la aleurs a P aleurs ar ons dénition, Le nous a a par v e ons 3 :  3. : Chamoret trois Dominique : : 1. déduit de en 3 On : a : trois que tel p he 2. herc propres v On donc . On (a) propres propres. V Sous-espaces : 3. donnée diagonalisable. matrice t Soit forcemen donc Corr est aussi matrice v La Nous ZZ 1 x = x dx dyG A2 D2ZZ 1 2= r cosθ dr dθ A2 U2Z π Z Z Z1 2π 1 44 2= r cosθdr dθ+ cosθ dr dθ 7ππ 0 0 0 4" #  Z π Z13 2π 44 r = cosθ dθ+ cosθ dθ 7ππ 3 00 4√ 4 2 = 3π ZZ 1 y = y dx dyG A2 D2ZZ 1 2= r sinθ dr dθ A2 U2Z π Z Z Z1 2π 1 44 2 = r sinθdr dθ+ sinθ dr dθ π 7π0 0 0 4" #  Z π Z1 2π3 44 r = sinθ dθ+ sinθ dθ π 3 7π00 4√ 4 2 = 3π M (R)3  −4 −6 0 A = 3 5 0 3 6 5