Corrige UTBM Mathematiques applications 2005

Informations

• Publié par: shin
• Nombre de lectures: 203
• Langue: Français

Extrait

les Le v 2005 V 1. endredi supp 25 déni no v . em supp bre La 2005 matrice Médian solution de réel l'UV ts, MT31 et Dur herc é a e supp : matrice 2 Le heures solution . a Une v feuille A4 et les seul 3 de . notes de autorisée. soit p autorisée. à On 1 rotationnel 1. ec Calculer 1. la régulière dériv (a) ée est-elle de ? la ème fonction admet-il Automne 2. Chamoret ec Dominique (a) . est-elle précis, ? ème admet-il dans 3. que érier an v aleurs et . de v l'expression de tes i.e. 2. gradien Calculer hamp la un dériv que ée our d'ordre applications précéden déterminer de he la fonction 2. questions de des le Déduire v (d) Calculer (3) . que On telle ose te osée . une La est 2 in On ersible (b) le sysy système fonction linéaire (1) existe une qu'il ? trer On et ose la v matrice . Mon La dénis : par in : ersible (c) (b) (2) sysy que par telle ordonnées existe une qu'il ? trer Discuter Mon résoudre (b) en ? suiv et t érier v v du alors ecteurs t en Soit doiv le hamp Quelles 1 (a) 1 xe +1 f(x) = 1 xe −1 n g(x) = x cosx (S) A    ax+y +z = 1 a 1 1  (S) x+ay +z = 1 A = 1 a 1 a∈R x+y +az = 1 1 1 a a = 1 A (S) a = 0 A (S) (S) a V  3 xz e −z y sinx  2f :R → R  V(x, y, z) = f(x,z)  (x,z) → f(x,z) y2 x3z e +ycosx+ +2z y z f V f V ∇∧V = 0 ∂f ∂f (x,z) (x,z) ∂x ∂z f (z)1 f(x,z) = zcosx+f (z)1 c1 2f (z) = lnz +z +c1 1 f ∇∧V = 0si un que, Nous que existe main que tenan v t une la (d) fonction si Chamoret (4) obten (e) ue hamp à t la te question il précéden trer te que (a alors, v il ec Mon Dominique tel . si de est l'expression ), scalaire i.e. érian telle (6) que telle tes précéden existe questions alors, des que, Déduire Mon . (5) (a) tel Que il p 3. eut-on alors, en existe déduire trer ? (c) (b) que Mon 2 trer f c = 01 ∇∧V = 0 φ ∂φ (x,y,z) = V (x,y,z),1 ∂x φ (y,z)1 3 xφ(x,y,z) = z e +z y cosx+φ (y,z)1 ∂φ (x,y,z) = V (x,y,z),2 ∂y φ (z)2 2φ (y,z) = y lnz +z y +φ (z).1 2 ∂φ (x,y,z) = V (x,y,z),3 ∂z c2 φ (z) = c .2 2 φ(x,y,z)solutions, 1 de 2005 n'a V matrice endredi en 25 . no t v supp em le bre est 2005 Le Co : rrection ème du unique. médian  de de l'UV innité MT31 par Dur , é de e : résout 2 unique. heures . v Une Le feuille eet, A4 de seul visageables de as notes Une autorisée. 2. solutions. autorisée. (a) Corr est e a 1 Automne 1. piv Chamoret matrice Dominique v solution. t de le pas . n'a ème système admet le ersible , On  ons : a (b) deux sysy distinguer nous à En Corr pas e solution Deux 2 son 1. en On : supp P ose de amené  est innité On solution. . On (a) ose La de matrice . : La est une donnée donnée par : : système simplication que après on s'écrire Si alors Gauss. eut ot p du système La Le métho . in 6 ersible que la t utilisan tenan système main 6 ose On La (b) matrice sysy supp 3. n'est solution pas une in v 1 xe +1f(x) = 1 ex−1 a = 1 A   1 1 1 A = 1 1 1 1 1 1 A L = L1 2 (S) a = 0 A   0 1 1 1 0 1A = 1 1 0 A detA = 2 = 0 (S)   ax+y +z = 1 ax+y +z = 1  2(S) x+ay +z = 1 ⇔ (a −1)y +(a−1)z = a−1  x+y +az = 1 (1−a)y +(a−1)z = 0  ax+y +z = 1 ⇔ (a−1)(a+1)y +(a−1)z = a−1 (1−a)(y−z) = 0 a = 1  x+y +z = 1 (S) 0 = 0 0 = 0 a = 1   ax+y +z = 1 ax+y +z = 1  (S) (a+1)y +z = 1 ⇔ (a+1)y +z = 1  y−z = 0 (a+2)y = 1 a =−2de Corr Chamoret On 6 Sinon, Dominique hamp : he donc v , pas le a système Soit a déni une applications solution 2. unique donnée gradien par : solution. a soit On solution : déduit le en v On que : et déterminer : que donc sait . On (1) (c) 2 : , a hamp On n'a (b) de :  t un forcemen que ons une En unique. résumé, e nous 3 a our v ons de : ecteurs  en v ordonnées a par nous p , les , à Si herc (a) On a : une a innité  de de solution. 1.  ec . a i.e. ts, a =−2  1x = a+2 1y = a+2 1z = a+2 a = 1 (S) a =−2 (S) (S) V   3 xz e −z y sinx  2f :R → R  V(x, y, z) = f(x,z)  (x,z) → f(x,z) 2 x y3z e +ycosx+ +2zy z ∇∧V   ∂V ∂V3 2 (x,y,z)− (x,y,z))   ∂y ∂z  ∂f 1  cosx+ +2z− (x,z) z   ∂z     ∂V ∂V 2 x 2 x1 3  ∇∧V (x,y,z) = =  3z e −y sinx−(3z e −ysinx)(x,y,z)− (x,y,z)   ∂z ∂x    ∂f  (x,z)+z sinx ∂V ∂V ∂x2 1 (x,y,z)− (x,y,z) ∂x ∂y   ∂f 1cosx+ +2z− (x,z) z ∂z  ∇∧V (x,y,z) = 0  ∂f (x,z)+z sinx ∂x f V ∇∧V = 0 ∇∧V = 0 ∂f 1(x,z) = cosx+ +2z z∂z ∂f (x,z) = −zsinx ∂x ∂f (x,z) =−zsinx⇒ f(x,z) = zcosx+f (z)1 ∂x ∂f 1 (x,z) = cosx+ +2z ∂z z f(x,z) = zcosx+f (z)1 1 ′cosx+ +2z = cosx+f (z)1 z 1 ′f (z) = +2z1 z 2f (z) = lnz +z +c1 1Il a Finalemen , t, que Chamoret : est : donnée En par : par Dominique : : : tiel question oten : p par du à l'expression donc t scalaire nalemen ort a (b) On tégran (e) Soit : en y ons à te, ort d'après rapp On par obtien t ort tégran tégran in y en . 3. existe On un supp hamp ose tel Soit : : rapp déduit t en On On par : in aussi en ons (d) v déduit a On nous aussi te, v préceden nous question préceden la la d'après Mais Mais a : (c) a t . on (a) à On rapp a t On in (d) 3 : f 2f(x,z) = zcosx+lnz +z +c1 2f(x,z) = zcosx+lnz +z ∇∧V = 0 ∇φ =V V1 ∂φ V (x,y,z) = (x,y,z)1 ∂x ∂φ 3 x(x,y,z) = z e −z y sinx ∂x x 3 x φ(x,y,z) = z e +z y cosx+φ (y,z)1 ∂φ 2(x,y,z) = V (x,y,z) = zcosx+lnz +z2 ∂y ∂φ ∂φ1 (x,y,z) = zcosx+ (y,z) ∂y ∂y ∂φ ∂φ1 12 2zcosx+ (y,z) = zcosx+lnz +z ⇒ (y,z) = lnz +z ∂y ∂y 2φ (y,z) = ylnz +yz +φ (z)1 2 ∂φ y 2 x(x,y,z) = V (x,y,z) = 3z e +ycosx+ +2z y3 ∂z z ∂φ y y 2 ′ 2 x(x,y,z) = 3z +ycosx+ +2zy +φ (z) = 3z e +ycosx+ +2z y 2∂z z z ′φ (z) = 02 φ (z) = c2 2 φ 3 x 2φ(x,y,z) = z e +z y cosx+ylnz +yz +c2