Lapremierepartieduproblemeapourbutd’etabliruneidentitedueaEulerconcernantlafonctionφ, al’aided’unraisonnementprobabiliste. Dansladeuxiemepartie,onetudielegroupedeselementsinversiblespourlamultiplicationdansZ/nZ, et on montre que, sinn’a qu’un seul diviseur premier, alors ce groupe est cyclique. Latroisiemepartieintroduitlanotiondenombrespseudo-premiersfortsetseproposed’endonnerune caracterisationalgorithmiquesurunecalculatriceprogrammable. Enn,laquatriemepartieapourobjetl’etudedenombresappelesnombresdeCarmichael,presentant dessimilaritesaveclesnombrespremiers,etsetermineparlapresentationd’untestprobabilistepourla detectiondenombrespremiers.
Capesexterne2003,deuxiemeepreuve
Partie I
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1.Onconsideredanscettequestionununivesprobabilise(, B, P’uednirrantcontmeneeve’L.) evenementErestonaeE. (a) SoientA1etA2tsanndpenitucedenom;sreveuqrertdeuxveeenemtnisdneA1etA2sont independants. (b)Generalisation:soitkun entier naturel non nul etA1,A2, .. .,Akktnemelleutumenementsev independantsde. (I) MontrerqueA1,A2. .,, .Akndtse.pnetndianso (II)MontrerparrecurrencequeA1,A2, .. .,Akdnitnostnadnepes. Dans toute la suite de cette partie,ntanrlerupuseireedgnsineeuientneteuXl2aeagruuo variablealeatoiresur,prenantsesvaleursdansl’ensemble{1, . . ., n}ereequidemani,borpelba 1 c’est-a-diretellequepourtouti= 1, . . ., n, on aP(X=i) =. n 2.Onconsiderel’evenementA1eXts“:ltmuleip2”del’etvemenetneA2: “X est multiple de 5”. (a) Onsuppose quen= 100. CalculerlesprobabilitesdesevenementsA1etA2.A1etA2nadn?stdnisepet-ilson (b) Onsuppose maintenant quen= 101. Reprendre les questions du (a) dans ce cas. k Q αi 3.Onsupposequeladecompositionenfacteurspremiersdentecris’n=pelso,uαisont des i i=1 entierssuperieursouegauxa1. Enn, pourientier naturel, 1≤i≤k,Aiislbidivperaveement“enstXedgise’lenpi”. (a)SoitAl’evenement:“Xestpremieravecn” ;exprimerP(Aid’aeedal)netφ(n). 1 (b) MontrerqueP(Aipour tout entier) =i, 1≤i≤k. pi (c) Montrerque les (Ai)1≤i≤kindmentellemututnos.sadtnpene (d)ExprimerAal’aidedesAi. µ ¶ k Q1 (e)Endeduirequeφ(n) =n1−(E). p i=1i 4.Onseproposederetrouverl’egaliteprecedente(E)paruneautremethode;soientpetqdeux entiers naturels premiers entre eux. ½ Spq→ {0, . . ., p−1} × {0, . . ., q−1} Onconsiderel’applicationh:uoa(resp.b) est le reste de r7→(a, b) la division euclidienne derparp(resp. parq). (a) Montrerqueh(Spq) est inclus dansSp×Sq. (b) Montrerquehest injective. (c) Justierl’existence de deux entiersαetβdeZtels que :αp+βq= 1. Soit (a, b) un couple deSp×Sq. On notex=αpb+βqa; montrer quex≡amodpet x≡bmodq. Endeduirequel’imagedehestSp×Sq, puis queφ(pq) =φ(p)φ(q). (d)Al’aided’unerecurrencesurlenombredediviseurspremiersdenteorvurelarols’egalite,r (E). 5.Identited’Euler: (a) Soitdun diviseur deneta(; montrer que PGCDun entier naturel non nula, n) =dsi, et n seulement si, il existe un entierktel quepremier aveca=kd.Endsonbmereddeiuerel d entiersatels que 1≤a≤net PGCD(a, n) =d.
Capesexterne2003,deuxiemeepreuve
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(b) Pourtout entierddiviseur den, on noteCd“tnemene(DCGPvel’X, n) =d”. ExprimerP(Cd’lia)aededn,det de la fonctionφ. ³ ´ P1n (c)Endeduirequeφ= 1 (rappel :Dnnote l’ensemble des diviseurs dendansN). n d d∈Dn n (d) Montrerque l’applicationuesruiqduivai,uttoddenassocieu(d) =est une bijection de d P Dnˆe-muisltron.Mmeenraqdueφ(d) =ne’duEeli(edtnti.r) d∈Dn
Partie II
nnusritneottnuojutaeetonepuorgudedutel’steetiarepttceteedo’jb2al,agloueieurperersu ∗ ((Z/nZ),×ed)elsmeesdnteZ/nZinversibles pour la multiplication. Onrappellequecetensembleestcomposedesclassesmodulondes nombres premiers avecn. On pourra ∗ donc remarquer queφ(n) =card((Z/nZ) ). La classe d’un entieraanerseetoa˙ .