Deuxième composition de Mathématiques 2006 Classe Prepa MP Ecole Polytechnique

Description

Examen du Supérieur Ecole Polytechnique. Sujet de Deuxième composition de Mathématiques 2006. Retrouvez le corrigé Deuxième composition de Mathématiques 2006 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2006
• École polytechnique

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 14 mars 2008
• Nombre de lectures: 31
• Langue: Français

Extrait

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D’ADMISSION 2006

MP FILIÈRE

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve. ? ? ?

Matrices réelles de partie symétrique positive

n Dans tout le problème, l’espace vectorielRsera muni du produit scalaire usuel noté(.|.)et de la norme correspondantek.k. On noteraM n (R)l’espace vectoriel des matrices ànlignes et ncolonnes, à coefficients réels, etIla matrice identité; on muniraM n (R)de la norme usuelle : ® ´ kAxk kAk= sup, x6= 0. kxk n Une matriceAdeM n (R)sera ditespositivesi l’on a(Ax|x)>0pour toutxdeR.

Première partie

1.Montrer que toute matriceAdeM n (R)s’écrit de façon unique comme somme d’une matrice symétriqueA s et d’une matrice antisymétriqueA a .

2.SoitAune matrice deM n (R). Trouver une condition nécessaire et suffisante, portant sur les valeurs propres deA s , pour queAsoitspositive.

Deuxième partie

3.Montrer que, pour toute matricespositiveAet tout nombre réelλ >0, la matriceλI+A est inversible.

−1 On posera alorsR λ (A) = (λI+A).

4.(Étude d’exemples) On examinera les deux exemples suivants : Ç å 0 1 a)n= 2, A=. −1 0

1

Ö è 0 01 b)n= 3, A0 0= 0. −1 0 0 Pour chacun de ces exemples : calculer KerA, ImA,R λ (A), dire siR λ (A)(resp.λR λ (A)) admet une limite lorsqueλ→0et, si oui, donner cette limite.

Dans la suite de cette deuxième partie on se donne une matricespositiveAet un réelλ >0.

5.Démontrer les assertions suivantes :

5.a)AR λ (A) =R λ (A)A=I−λR λ (A). 5.b)Pour tout réelµ >0, on a R λ (A)−R µ (A) = (µ−λ)R λ (A)R µ (A). 1 6.Démontrer l’inégalitékR λ (A)k6, avec égalité si et seulement sidetAest nul. λ 7.Démontrer les assertions suivantes :

7.a)Pour toutx∈ImA,λR λ (A)x→0lorsqueλ→0.

n 7.b)L’espaceRest somme directe de KerAet ImA.

7.c)Lorsqueλtend vers 0,λR λ (A)tend vers le projecteur sur KerAparallèlement à ImA.

8.Montrer que l’applicationΦ :λ7→R λ (A)de]0,+∞[dansM n (R)est indéfiniment déri (p)q q vable, et exprimer ses dérivées successivesΦen fonction de ses puissancesΦ :λ7→Φ(λ).

Troisième partie

Dans cette troisième partie on se donne une applicationFde]0,+∞[dansM n (R)possédant les propriétés suivantes : 1 (i)∀λ >0,kF(λ)k6; λ (ii)∀λ ,µ >0, F(λ)−F(µ) = (µ−λ)F(λ)F(µ); (iii)F(1)est inversible. 9.Montrer queF(λ)est inversible pour toutλ >0.

−1−1 10.a)CalculerF(λ)−F(µ).

−1 10.b)Montrer que, lorsqueλ→0,F(λ)admet une limiteAet que l’on a, pour toutλ >0, −1 λI+A=F(λ).

11.Montrer que les matricesAF(λ)etAsontspositives.

2

Quatrième partie

Étant donné une matriceAdeM n (R), on pourra admettre les résultats suivants : +∞ k X A (i) Lasérie estconvergente. NotonsexpAsa somme. k! k=0 (ii) Lafonction de variable réellet7→exp(tA)est dérivable et sa dérivée est donnée par d exp(tA) =Aexp(tA). dt

12.SoitAune matrice deM n (R). Démontrer l’équivalence des conditions suivantes : (i) pourtoutt>0, on akexp(−tA)k61; n2 (ii) pourtoutx∈R, la fonctiont7→ kexp(−tA)xkest décroissante; (iii)Aestspositive.

On fixe maintenant une matriceA spositive et un réelλ >0.

13.Démontrer la convergence des intégrales Z +∞ −λt ρ(λ) i,j =e(exp(−tA)) i,j dt ,16i, j6n . 0 On noteρ(λ)la matrice de coefficientsρ(λ) i,j .

14.Comparerρ(λ)etR λ (A). [On pourra calculer d’abordAρ(λ) +λρ(λ).]

15.On considère le premier exemple de la question4. Calculerexp(−tA), puisρ(λ). Retrouver la valeur deR λ (A)obtenue à la question4.

∗ ∗ ∗

3