E3A 2004 mathematiques b classe prepa mp

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C54B concours CONCOURS ENSAM - ESTP - ECRlN - ARCHIMEDE Epreuve de Mathématiques B MP durée 3 heures L’usage de la calculatrice n’est pas autorise Exercice 1 On considère l’équation différentielle : y’+ 2xy = 1 (E) On considère la fonction g de la variable réelle x définie par: 1. Montrer que g est impaire. 2. Montrer que g est solution de l’équation différentielle (E). 3. En déduire en fonction de g toutes les solutions de l‘équation différentielle (E). 4. Soit y(z) = CEo nizi une solution développable en série entière de l’équation différentielle (E) - 1 (a) Montrer que la suite (ai)iEw vérifie la relation : Yi 2 O, (i + 2)ai+2 + 2ai = O. (b) Déterminer al. Expliciter les coefficients u2i+l pour i f N. (c) Montrer que la suite (ai)iEw est uniquement déterminée par la valeur de ag, et exprimer les coefficients a2i7 pour tout i E N7 en fonction de ao. (d) Réciproquement, on considère une suite (ai)iE~ vérifiant la relation de récurrence : Déterminer le rayon de convergence R de la série entière y(x) = CEo aiXi. (e) Expliciter le développement en série entière de g. 5. On considère les fonctions g1 et g2 définies par : Vx E R, g1(x) = eMX2 et g2(2) = lx et2dt. (a) Expliciter le développement en série entière des fonctions g1 et 92. (b) En déduire le le en série entière de la fonction 9192 à l’aide d’un résultat dont on rappellera l’énoncé. En déduire la relation suivante : k (-1)j ’ 4k(k!)2 j=O ci = (2k+ l)!. Exercice 2 On considère le ...

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• Publié par: aiolos
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