EA 2004 composition de mathematiques classe prepa pc

Description

7Lestroispartiesdeceproblèmesonttrèslargement indépendantes et peuvent se traiter dans unordre indifférent.Partie A3 3R est rapporté à sa base canonique B=(e ,e,e). On considère l’endomorphisme u de R1 2 3défini par sa matrice A relativement à la base B, où la matrice A est donnée par: 8 −1 −5 A = −2314 −1 −1◦A1 ...

Informations

• Publié par: aiolos
• Nombre de lectures: 136
• Langue: Français

Extrait

Les trois parties de ce problème sont très largement indépendantes et peuvent se traiter dans un ordre indifférent.

Partie A

3 3 Rest rapporté à sa base canoniqueB= (e 1 , e 2 , e 3 )considère l’endomorphisme. OnudeR défini par sa matriceArelativement à la baseB,où la matriceAest donnée par:   8−1−5   A= −2 31 4−1−1 ◦ A 1Démontrer que les réels2et4sont deux valeurs propres deuet déterminer une base des deux sous espaces propres correspondants .

◦03 A 2Démontrer qu’il existe une baseBdeRtelle que l’endomorphismeuadmette relativement   4 3 0   0 0 à la baseBla matriceA 4 0= 0 . Onchoisira les coordonnées des vecteurs de cette 0 0 2 nouvelle base parmi1,0,−1

◦n A 3 Soitn∈N.DéterminerAen fonction den. ◦1 A 4x, y, zdésignant trois fonctions réelles de classeC, déterminer l’ensemble des solutions de l’équation différentielle suivante:  0  x(t) = 8x(t)−y(t)−5z(t) 0 ∀t∈R , y(t) =−2x(t) + 3y(t) +z(t)  0 z(t) = 4x(t)−y(t)−z(t)

Partie B

◦2 B 1Déterminer les fonctions de classeCsurRà valeurs dansRtelles que 00 0 ∀t∈R, f(t) +f(t) +f(t) = 0(1) (les solutions ne doivent donc pas s’exprimer à l’aide de nombres complexes ) ◦ B 2Montrer que l’ensembleFdes solutions de(1)forme unRespace vectoriel dont on précisera une base(ϕ,ϕ). 1 2 Donner l’allure du graphe d’une solution non nulle de(1)

◦0 B 3Montrer que l’applicationD:f7→fest un endomorphisme deF. 3 Cet endomorphismeDest il diagonalisable? DéterminerD . ◦ B 4Soita∈Rnote. OnT a l’application définie par : ∀f∈F,∀x∈R, T a (f)(x) =f(x+a) Montrer queT a est un endomorphisme deF. Pourquelles valeurs du réelal’endomorphismeT a ◦ est il diagonalisable? Quelle propriété du graphe deftracé auB2peut on en déduire?

◦ B 5Déterminer l’ensemble des couples(λ, a)∈R×Rtels queD=λT a