Ecricome 1999 mathematiques classe prepa b/l

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ECRICOMEBanque d Øpreuves communesaux concours des Ecolesesc bordeaux / esc marseille / icn nancy / esc reims / esc rouen / esc toulouseCONCOURS D’ADMISSIONoption lettre et sciences humainesMATHÉMATIQUESAnnØe 1999Aucun instrument de calcul n est autorisØ. document n est autorisØ.L ØnoncØ comporte 4 pagesLes candidats sont invitØs à soigner la prØsentation de leur copie, à mettre en Øvidence les principauxrØsultats, à respecter les notations de l’ØnoncØ, et à donner des dØmonstrations complŁtes (mais brŁves)de leurs a¢ rmations.Tournez la pageS.V.P1/4PREMIER PROBLEME21. Soit f une fonction de classe C sur [a;b]; telle que f(a) =f(b) = 0;x Øtant un ØlØment de ]a;b[, montrer qu il existe x de ]a;b[ tel que :0 1f"(x )1f(x ) = (x a)(x b):0 0 02On pourra appliquer plusieurs fois le thØorŁme de Rolle à la fonction auxiliaire :f(x )0’ :x7!f(x) (x a)(x b)(x a)(x b)0 0aprŁs avoir calculer ’(a); ’(x ) et ’(b):022. Soit g une fonction de classe C sur [a;b] telle que, pour tout x de [a;b]; m6g"(x)6M:(a) Soit h apl plication dØ…nie par :x b x ah(x) =g(x) g(a) g(b) ;a b b aen appliquant le rØsultat prØcØdent à la fonction h, montrer que, pour tout x de [a;b];(x a)(x b) x b x a (x a)(x b)M 6g(x) g(a) g(b) 6m :2 a b b a 2 bR x b x a b a(b) Montrer que g(a) +g(b) dx = [g(a)+g(b)]:a b b a 2a(c) En dØduire que :bZ3 3(b a) b a (b a)M 6 g(x)dx (g(a)+g(b))6 m :12 2 12a3.n+1R(a) Calculer ln(x)dx pour n entier strictement positif.n(b) ...

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ECRI COME Banque dépreuves communes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esc marseille/ icnancy /esc reims/ esrouen /esc toulouse

CONCOURS DADMISSION

option lettre et sciences humaines

MATHÉMATIQUES

Aucun instrument de calcul nest autorisé. Aucun document nest autorisé.

Lénoncé comporte 4 pages

Année 1999

Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de lénoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs a¢ rmations.

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