Ecricome 2002 mathematiques classe prepa hec (s)

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Ecricome 2002, option scientifique.EXERCICE 1E d´esigne un espace vectoriel sur le corps C des nombres complexes.Id l’identit´e de E, Θ l’endomorphisme nul.EC[X] l’ensemble des polynˆomes `a coefficients complexes.Pour tout n, C [X] repr´esente l’ensemble des polynomˆ es a` coefficients complexes, de degr´eninf´erieur ou ´egal `a l’entier n.nSi g est un endomorphisme de E, on d´efinit g par :0g =IdE∗n n−1g =g ◦g, n∈ INpPour tout polynˆome P de C[X] tel que : P(X) = a +a X+···+a X , on note P(g)0 1 ppl’endomorphisme de E ´egal `a : P(g) =a Id +a g+···+a g .0 E 1 pOn rappelle que pour tous polynomeˆ s P, Q de C[X], on a :(PQ)(g) =P(g)◦Q(g) =Q(g)◦P(g)3 2On d´esigne par T le polynˆome de C[X] d´efini par : T(X) = 3X −X −X −1 et par f unendomorphisme de E satisfaisant `a la relation T(f) = Θ.Le but de l’exercice est d’´etudier la suite des puissances de l’endomorphisme f.1) Montrer que 1 est la seule racine r´eelle deT. Soientα etα les deux autres racines non r´eelleset conjugu´ees. Calculer α+α et αα.2) On d´esigne par ϕ l’application qui, a` tout polynˆome P de C[X] associe le reste dans ladivision euclidienne de P par T.a) Rappeler le th´eor`eme de la division des polynˆomes suivant les puissances d´ecroissantes.b)Montrer que ϕ est un endomorphisme de C[X].c) L’endomorphisme ϕ est-il injectif? Est-il surjectif?3) On note L , L , L , les polynˆomes d´efinis par1 2 3L (X) = (X−1)(X−α), L (X) = (X−1)(X−α), L (X) = (X−α)(X−α)1 2 3a) Montrer que (L ,L ,L ) ...

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Ecricome 2002, option scientifique.

EXERCICE 1 Eurleielsscorpd´igesnuenapseevecrotcCdes nombres complexes. Id E ’iled´eitntdeE, Θ l’endomorphisme nul. C[X]’lnespolynˆosembledeeicfficstn`semeoca.plomesex Pour toutn,C n [Xdede´egre´eserrp]edesembl’ensntelffieoca`semoˆnylops,xelempcotsenci inf´erieuroue´gala`l’entiern. n Sigest un endomorphisme deEtniefid´,nogpar :  0 g=Id E n n−1 ∗ g=g◦g, n∈IN p PourtoutpolynoˆmePdeC[X] tel que :P(X) =a 0 +a 1 X+∙ ∙ ∙+a p X, on noteP(g) p l’endomorphisme deE`a:´egalP(g) =a 0 Id E +a 1 g+∙ ∙ ∙+a p g. OnrappellequepourtouspolynˆomesP,QdeC[X], on a : (P Q)(g) =P(g)◦Q(g) =Q(g)◦P(g) 3 2 Onde´signeparTedemoˆynoleplC[Xpar:infie´d]T(X) = 3X−X−X−1 et parfun endomorphisme deEsoiisantsiaf`tnaralataleT(f) = Θ. Lebutdel’exerciceestd’e´tudierlasuitedespuissancesdel’endomorphismef.

1)enicee´ruesaareledlleque1estlMontrerT. Soientαetαnonsenicsellee´ruxdeeslraestrau etconjugu´ees.Calculerα+αetαα. 2)d´Onigespanerϕatoutpolynˆomelppataciqnoi`,iul’PdeC[X] associe le reste dans la division euclidienne dePparT. a)ladimedeor`eth´ereelppleaRantes.e´rciossssnaecdslentuispssmevauilopsoˆnyisivedno b)Montrer queϕest un endomorphisme deC[X]. c)L’endomorphismeϕ? Est-il surjectif?est-il injectif 3)On noteL 1 , L 2 , L 3 fin´esdmeˆoynolsp,elrapsi L 1 (X) = (X−1)(X−α), L 2 (X) = (X−1)(X−α), L 3 (X) = (X−α)(X−α) a)Montrer que (L 1 , L 2 , L 3 ) est une base deC 2 [X]. 3 b)Montrer que pour toutnde IN, il existe un unique triplet (a n , b n , c n ap)rtpananea`tCtel que : n ϕ(X) =a n L 1 +b n L 2 +c n L 3 1 et exprimera n ,b n ,c n en fonction deα,α,nrefiire´V.quec n = . 2 c)Prouver que pour toutnde IN : n f=a n L 1 (f) +b n L 2 (f) +c n L 3 (f) d)Justifier la convergence des suites (a n ), (b n ), (c n lseer´estiecspresfdsrev)a,b,c. 4)On poseh=aL 1 (f) +bL 2 (f) +cL 3 (f). 1 2 a)Montrer queh= (3f+ 2f+Id E ). 6 b)Prouver enfin quehest un projecteur.

EXERCICE 2 Onseproposeicid’e´tudierlase´riedetermege´ne´ral n u n (x) =a n x o`uxteseutelqunr´enqueelcoa n rnu,fie´dlee´rpani Z 1   n 2 1 +t a n = dt, n∈IN 2 0