Ecricome 2003 mathematiques classe prepa hec (eco)

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ECRICOME 2003option ECONOMIQUEEXERCICE 13On consid`ere l’espace vectoriel E = R et f l’endomorphisme de E dont la matrice dans la base→− −→ −→canoniqueB = (e ,e ,e ) est la matrice A :1 2 3 3 −2 3 A = 1 0 20 0 21. Calcul des puissances de A1. D´eterminer les valeurs propres λ et λ de l’endomorphisme f, avec λ <λ1 2 1 2−12. La matrice A est-elle inversible ? (On ne demande pas la matrice A ).3. D´eterminer une base et la dimension de chacun des sous-espaces propres de f.4. Justifier que f n’est pas diagonalisable.→−5. D´eterminer le vecteur u de E v´erifiant :1→−• u est un vecteur propre de f associ´e a` la valeur propre λ1 1−→• la premi`ere composante de u est l.1→−6. D´eterminer le vecteur u de E v´erifiant :2→−• u est un vecteur propre de f associe a` la valeur propre λ2 2→−• la deuxi`eme composante de u est l.2→− →− −→ →−7. Soit u = (1,1,1). Montrer queC = (u ,u ,u ) est une basede E.3 1 2 38. D´eterminer la matrice de passage P de la la baseB dans la baseC puis la matrice de passagede la baseC a` la baseB.→− →− →−9. Montrer que : f (u ) = u +2u3 2 310. En d´eduire que la matrice de f dans la baseC est la matrice: 1 0 0 T = 0 2 10 0 211. Rappeler la relation matricielle entre A et T.∗12. Prouver que pour tout ´el´ement n deN il existe un r´eel α tel que :n 1 0 0n n T = 0 2 αnn0 0 2On donnera le r´eel α ainsi qu’une relation entre α et α1 n+1 nECRICOME 2003 Eco Page 1/ 5613. Montrer que :∗ n−1∀n∈N , α =n2nnEn d´eduire ...

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ECRICOME 2003 option ECONOMIQUE EXERCICE 1 3 Onconsid`erel’espacevectorielE=Retfl’endomorphisme deEdont la matrice dans la base −→−→−→ canoniqueB= (e 1 , e 2 , e 3 ) est la matriceA:   3−2 3   A = 10 2 0 02 1. Calculdes puissances deA 1.imentere´Dseroprurspvalerlesλ 1 etλ 2 de l’endomorphismef, avecλ 1 < λ 2 −1 2.La matriceAest-elle inversible ?(On ne demande pas la matriceA). 3.ealteesaboisnemideretD´nerunemicasee-pserdsrppohacundecsousndesf. 4.Justifier quefn’est pas diagonalisable. −→ 5.ecteurminerlev´Dtereu 1 deE:tnafiire´v −→ •u 1 est un vecteur propre defropreeurpavale`alco´iassλ 1 −→ •laprerecemi`astnmoopdeeu 1 est l. −→ 6.D´nemieretetcevelrruu 2 deEv´erifiant: −→ •u 2 est un vecteur propre defssaieocla`aelavrpruerpoλ 2 −→ •pmsoemocixe`dauedealnteu 2 est l. −→−→−→−→ 7.Soitu 3 = (1,1,1). MontrerqueC= (u 1 , u 2 , u 3 ) est une basedeE. 8.malrirtareteenimeagD´decesspaPde la la baseBdans la baseCpuis la matrice de passage de la baseCbasa`laeB. −→−→−→ 9.Montrer que :f(u 3 ) =u 2 + 2u 3 10.cideednE´eduirequelamatrfdans la baseCest la matrice:   1 0 0   T 2 1= 0 0 0 2 11.Rappeler la relation matricielle entreAetT. ∗ 12.uttol´´euerqurporPevuomenetndeNllixesiteunr´eeα n tel que :   1 00 n n   T = 02α n n 0 02 Ondonneralere´elα 1 ainsi qu’une relation entreα n+1 etα n ECRICOME 2003 EcoPage 1/ 5