Ecricome 2004 mathematiques classe prepa hec (s)

Description

Ecricome 2004, option scientifique.EXERCICE 1M (R) d´esigne l’espace vectoriel des matrices carr´ees d’ordre n `a coefficients r´eels (n> 1) et Enl’espace vectoriel des polynˆomes a` coefficients r´eels de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n−1.Onconsid`ereunematriceS deM (R)admettantnvaleurspropresr´eellesλ ,λ ,...,λ distinctesn 1 2 ndeux a` deux.L’objet de l’exercice est de montrer que, si k est un entier naturel impair et si une matrice A dekM (R) commute avec S , alors elle commute avec S.nDans la derni`ere question on ´etudiera un contre-exemple.−11) Justifier l’existence d’une matrice P inversible telle que la matrice P SP soit une matriceD diagonale. Dans la suite de l’exercice un entier naturel impair k est fix´e.n2) On consid`ere l’application f de E dans R qui `a tout polynˆome T fait correspondre lenvecteur deR d´efini par :k k kf(T) = T(λ ),T(λ ),...,,T(λ )1 2 na) Montrer que f est un isomorphisme d’espaces vectoriels.b)En d´eduire l’existence d’un unique polynˆome U de E tel que :k k kU(λ =λ , U(λ ) =λ ,...,U(λ ) =λ1 2 n1 2 nk3) Prouver que le polynˆome R, d´efini par R(X) =U(X )−X est un polynomˆ e annulateur deD puis de S.k k4) Soit une matrice A deM (R) v´erifiant AS =S A.npk pka) Montrer que pour tout entier naturel p, AS =S A.b)En d´eduire que les matrices A et S commutent, c’est-`a-dire que : AS =SA.5) On consid`ere les deux matrices A et S deM (R) suivantes :2 1 –1 0 1A = , S =2 2 1 0a) V´erifier que S poss`ede deux valeurs propres ...

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Ecricome 2004, option scientifique. EXERCICE 1 M n (Rieldctortricesmarre´seacrordse’ded´)gise’lenapseevecneffico`ar´tsenci(sleen>1) etE l’espacevectorieldespolynˆomes`acoefficientsre´elsdedegr´einfe´rieuroue´gal`an−1. Onconside`reunematriceSdeM n (R) admettantn´reesorplpererlseusalvλ 1 , λ 2 , . . . , λ n distinctes deux`adeux. L’objet de l’exercice est de montrer que, sikest un entier naturel impair et si une matriceAde k M n (R) commute avecS, alors elle commute avecS. Dansladerni`erequestionon´etudierauncontre-exemple. −1 1)Justifier l’existence d’une matricePinversible telle que la matriceP SPsoit une matrice Ddiagonale. Dans la suite de l’exercice un entier naturel impairk´efix.ets n 2)Oonncd`silereppa’acilnoitfdeEdansR`itauqˆomeolynoutpTfait correspondre le n vecteur deRniefid´ap:r   k kk f(T) =T(λ), T(λ), . . . , , T(λ) 1 2n a)Montrer quefest un isomorphisme d’espaces vectoriels. b)uqpeuninoˆemlonyexisrel’ed’utenciude´dnEUdeEtel que : k kk U(λ ,. . 1 =λ 1 , U(λ 2 ) =λ 2 . , U(λ) =λ n n k 3)vureuqlepelonyoˆPermoRrapinfie´d,R(X) =U(X)−Xpounsterdetauennlumoaeylˆn Dpuis deS. k k 4)Soit une matriceAdeM n (Ranifit)erv´AS=S A. pk pk a)Montrer que pour tout entier naturelp,AS=S A. b)esiceseltrmadeiueruqnE´dAetSue:ireq`a-d’c,t-tsemmocnetuAS=SA. 5)esictrmauxdeesreleis`dcnnoOAetSdeM 2 (R) suivantes :    1 –10 1 A=, S= 2 21 0 a)euV´erifierqSet.sitcnp`ssodedevxueeualprrsreopissd b)Montrer queAcommute avec toute puissance paire deS, mais ne commute pas avecS. EXERCICE 2   π1 Onconside`relafonctionfi’tnreavnfieiuslrd´eellI= 0,par :f(x) = 4 cosx  π  I 0 =  4 Z π ainsiquelasuiter´eelle(I n ) n∈N suivante : 4   n  ∗  ∀n∈N, I n =f(x) dx 0 Partie 1edeuqijectionr´eciprotEdudelebaf. 1)Montrer quefear´ebunseliitnojiceedIdans un intervalleJa.Oniserqru´eelc’onponet −1 fe.quroipecr´onceitbajil −1 2)sdveeenestitaemeˆmelrusrennoDel’allurgraphiquebrspe´rdeseocrufet def.    1 −1   cosf(x) = x r 3)Justifier que :∀x∈J,   1  −1  sinf(x1) =− 2 x −1 4)Montrer quef´drevibaelusrsteJ\ {1}et montrer que :   0 1 −1 ∀x∈J\ {1}, f(x) = √ 2 x x−1 √ −1 5)Ed´eend2nee´timiltnemepplove´eedelirdufre1.’ord`al