Ecricome 2006 mathematiques classe prepa hec (s)

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ECRICOMEBanque d Øpreuves communesaux concours des Ecolesesc bordeaux / esc marseille / icn nancy / esc reims / esc rouen / esc toulouseCONCOURS D’ADMISSIONoption scienti queMATHÉMATIQUESAnnØe 2006Aucun instrument de calcul n est autorisØ. document n est autorisØ.L ØnoncØ comporte 6 pagesLes candidats sont invitØs à soigner la prØsentation de leur copie, à mettre en Øvidence les principauxrØsultats, à respecter les notations de l’ØnoncØ, et à donner des dØmonstrations complŁtes (mais brŁves)de leurs a¢ rmations.Tournez la pageS.V.P1/6EXERCICE 13On considŁre el space vectoriel euclidien R muni de son produit scalaire canonique et on noteB = (i;j;k) la base3canonique deR .3 3Pour tout (x;y)2R R on a donc :t= XYoø X et Y dØsignent les matrices colonnes des coordonnØes de x et y dans la base B.3 ? 3Si F est un sous-espace vectoriel deR , F dØsigne le supplØmentaire orthogonal de F dansR3 3 3On note L(R ) l ensemble des endomorphismes de R et Id apl plication identitØ de R .3 ? 3Pour f endomorphisme deR , de matrice M dans la base canonique, on note f el ndomorphisme de R dont latmatrice dans la base canonique est M.?Partie I : Quelques propriØtØs de f .3Dans cette question f est un endomorphisme deR .1. Montrer que :3 2 ?8(x;y)2 (R ) ; =? 32. Montrer que f est le seul endomorphisme g deR vØri ant3 28(x;y)2 (R ) ; =33. Soit F un sous espace vectoriel deR stable par f (c est-à-dire tel que f(F)F).? ...

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ECRI COME Banque dépreuves communes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esc marseille/ icnancy /esc reims/ esrouen /esc toulouse

CONCOURS DADMISSION

option scientique

MATHÉMATIQUES

Aucun instrument de calcul nest autorisé. Aucun document nest autorisé.

Lénoncé comporte 6 pages

Année 2006

Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de lénoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs a¢ rmations.

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