Ecricome 2007 mathematiques classe prepa hec (eco)

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ECRICOME 2007 voie E1. EXERCICE.Soit a un rØel strictement positif. On considŁre la fonction f dØ…nie pour toutarØel t strictement positif par :21 af (t) = (t+ )a2 tainsiquelasuite (u ) denombrerØelsdØterminØeparsonpremiertermeu > 0n n N 0et par la relation de rØcurrence :8n2N u =f (u )n+1 a n1.1. Etude des variations de la fonction f .a1. DØterminer la limite de f (t) lorsque t tend vers +1. Justi…er l’existencead’une asymptote oblique au voisinage de +1 et donner la position de lacourbe reprØsentative de f par rapport à cette asymptote.a2. DØterminer la limite de f (t) lorsque t tend vers 0 par valeurs positives.aInterprØter graphiquement cette limite.+3. Donnerl’expressiondelafonctiondØrivØedef surR etdresserletableauade variation de f .a4. En dØduire que :8t> 0 f (t)>aa1.2. Etude de la convergence de la suite (u ) ..n n N1. Que dire de la suite (u ) dans le cas particulier oø u =a?n n N 02. Dans la suite on revient au cas gØnØral u > 0.0DØmontrer que :108t>a 0an4. Prouver alors que pour tout entier n non nul :106u a6 (u a)n+1 n2Puis que : n 11ju aj6 ju ajn 125. En dØduire la convergence de la suite (u ) et indiquer sa limite.n6. En utilisant ce qui prØcŁde, Øcrire un programme en langage Pascal perme-ttant d’a¢ cher les 100 premiers termes d’une suite (u ), de premier termenp1, convergeant vers 2.1.3. Recherche d’extremum d’une fonction à deux variables. On considŁre ...

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Extrait

ECRICOME 2007 voie E

1. EXERCICE. SoitaOn considère la fonctionun réel strictement positif.f a dénie pour tout réeltstrictement positif par : 2 1a f a (t) =(t+ ) 2t ainsi que la suite(u n ) nN de nombre réels déterminée par son premier termeu 0 >0 et par la relation de récurrence : 8n2Nu=f(u) n+1a n

1.1. Etude des variations de la fonctionf a . 1. Déterminerla limite def a (t)lorsquettend vers+1lexistence. Justier dune asymptote oblique au voisinage de+1et donner la position de la courbe représentative def a par rapport à cette asymptote. 2. Déterminer la limite def a (t)lorsquettend vers0par valeurs positives. Interpréter graphiquement cette limite. + 3. Donnerlexpression de la fonction dérivée def a surRet dresser le tableau de variation def a . 4. Endéduire que : 8t >0f a (t)>a

1.2. Etude de la convergence de la suite(u n ) nN .. 1. Quedire de la suite(u n ) nN dans le cas particulier oùu 0 =a? 2. Dansla suite on revient au cas généralu 0 >0. Démontrer que : 1 0 8t > a0< f(t)< a 2 3. Montrerque pour tout entiern, non nul : u>a n