EDHEC 2000 mathematiques classe prepa hec (ece)

Description

EDHECSchool of managementECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORDConcours d’admission sur classes prØparatoiresMATHEMATIQUESOption ØconomiqueAnnØe 2000La prØsentation, la lisibilitØ, l orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document : seule ul tilisation d’une rŁgle graduØe est autorisØe.L utilisation de toute calculatrice et de tout matØriel Ølectronique est interdite.Exercice 1x x1. DØterminer l’ensemble D des rØels tels que e e > 0.x xOn dØ nit la fonction f par : 8x2D; f(x) = ln(e e ).On note (C) sa courbe reprØsentative dans un repŁre orthonormØ (O;~{;~|).2. (a) tudier les variations de f et donner les limites de f aux bornes de D.(b) En dØduire l’existence d un unique rØel vØri ant f() = 0, puis donner la valeur exacte de . p(c) Montrer que le coe¢ cient directeur de la tangente (T) à la courbe (C) au point d abscisse vaut 5.3. (a) Calculer lim (f(x) x).x!+1(b) En dØduire l’Øquation de l asymptote ( ) à la courbe (C) au voisinage de +1.(c) Donner la position relative de ( ) et (C).4. Donner l allure de la courbe (C) en faisant …gurer les droites ( ) et (T).pOn admettra que ’ 0;5 et que ’ 2;2. 8< g (x) = 0 six<5. Soit un rØel, on note g la fonction dØ…nie par : . : g (x) = six> 2xe ...

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EDHEC School of management

ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD Concours dadmission sur classes préparatoires

MATHEMATIQUES Option économique Année 2000

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

Lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1 xx 1. DéterminerlensembleDdes réels tels queee >0. xx On dénit la fonctionfpar :8x2D; f(x() = lnee). On note(C)sa courbe représentative dans un repère orthonormé(~|{;;~O). 2. (a)Étudier les variations defet donner les limites defaux bornes deD. (b) Endéduire lexistence dun unique réelvériantf() = 0, puis donner la valeur exacte de. p (c) Montrerque le coe¢ cient directeur de la tangente(T)à la courbe(C)au point dabscissevaut5. 3. (a)Calculerlim (f(x)x). x!+1 (b) Endéduire léquation de lasymptote()à la courbe(C)au voisinage de+1. (c) Donnerla position relative de()et(C). 4. Donnerlallure de la courbe(C)en faisant gurer les droites()et(T). p On admettra que'0;5et que'2;2. 8 < g  (x) = 0six <  5. Soitun réel, on noteg  la fonction dénie par :  . : g  (x) =six> 2x e1 0 (a) Onposeh(x) =f(x)x. Aprèsavoir calculerh(x), détermineren fonction depour queg  soit une densité de probabilité dune certaine variable aléatoireX. (b) Donnerla fonction de répartitionG  deX.

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