EDHEC 2003 mathematiques classe prepa hec (ece)

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unu1u1nnnn ___________________ Option économique Mardi 20 mai 2003, de 8h à 12h __________ La présentation, la lisibil ité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs . Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Exercice 1 1xOn note f str f ( ) = . 21) a. Pour tout entier naturel +¥ I = f ( ) I . n nò n b. En déduire que I . n+¥ = f ( ) est convergente. nk +13) a. Établir que : " ˛ , f ( 1) £ f ( ) £ f ( ). ò kntrer que : 1+¥ +¥ n £ I £ + . nå k å k 2k = n +1 k = n +11+¥ k. å 2k = n +1 k4) Déduire des questions précédentes un équivalent simple de ee b. En sommant soigneusement cette dernière inégalité, mok dx x + k * IN k 2) Montrer que la série de terme général ~ en fonction de est convergente et exprimer dx x supérieur ou égal à 1, montrer que l’intégrale xx ictement positif, par : x la fonction définie, pour tout réel eMATHEMATIQUESConcours d'admission sur classes préparatoiresECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU ...

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Extrait

1

ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD

Concours d'admission sur classes préparatoires

___________________

MATHEMATIQUES

Option économique

Mardi 20 mai 2003, de 8h à 12h

__________

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des

raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.

Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1

On note

f

la fonction définie, pour tout réel

x

strictement positif, par :

f

(

x

) =

e

x

x

1

2

.

1) a.

Pour tout entier naturel

n

supérieur ou égal à 1, montrer que l’intégrale

I

n

=

f x dx

n

( )

+∞

∫

est convergente et exprimer

I

n

en fonction de

n

.

b.

En déduire que

I

n

~

+∞

1

n

.

2) Montrer que la série de terme général

u

n

=

f

(

n

) est convergente.

3) a.

Établir que :

2200

k

∈

IN

*

,

f

(

k

+

1)

≤

f x dx

k

k

( )

+

∫

1

≤

f

(

k

).

b.

En sommant soigneusement cette dernière inégalité, montrer que :

u

k

k

n

= +

+∞

∑

1

≤

I

n

≤

u

k

k

n

= +

+∞

∑

1

+

e

n

n

1

2

.

4) Déduire des questions précédentes un équivalent simple de

e

k

k

k

n

1

2

1

= +

+∞

∑

.