EML 1999 mathematiques classe prepa hec (ecs)

Description

Programme ESC d’E.M.LYONCONCOURS D’ENTREE 1999MATHEMATIQUES1`ere ´epreuve (option scientifique)Les candidats ne doivent pas faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Probl`eme 1Notations:• n d´esigne un entier sup´erieur ou ´egal a` 3•M (R) est l’ensemble des matrices carr´ees d’ordre n a` coefficients r´eels.n  x1 . n.• On identifie les matrices unicolonnes X = d’ordre n avec les vecteurs deR . .xnn•R est muni du produit scalaire canonique not´e <.,.>.. d´efini par:   x y1 1nP   . .. .si X = et Y = , alors = x y .    k k. .k=1x yn ntEn identifiant les matrices deM (R) avec les r´eels, on a: = XY.1• I d´esigne la matrice identit´e deM (R).n n• A est la matrice deM (R) dont le terme g´en´eral a est ´egal `a 1 si|i−j| = 1 et ´egal `a 0 sinon.n n i,j   0 1 0 00 1 0 1 0 1 0   Ainsi, par exemple, A = 1 0 1 et A = .3 4  0 1 0 10 1 00 0 1 01. Montrer que A est diagonalisable.3D´eterminer une matrice inversible P de M (R) et une matrice diagonale D de M (R) telles que3 3−1A =PDP .32. Soit θ ∈]0;π[. On d´esigne par S l’ensemble des suites r´eelles (s ) telles que s = 0 et pour toutθ k k∈N 0entier naturel k, s −2cosθ s +s = 0.k+2 k+l ksinkθMontrer que, si la suite (s ) appartient `a S , alors pour tout entier naturel k: s =s .k k∈N θ k 1sinθEn d´eduire que S est un espace vectoriel ...

Informations

• Publié par: aiolos
• Nombre de lectures: 337
• Langue: Français

Extrait

Programme ESC d’E.M.LYON CONCOURS D’ENTREE 1999

MATHEMATIQUES 1e`ree´preuve(optionscientifique)

Lescandidatsnedoiventpasfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel ´electroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’unere`glegradue´eestautoris´ee.

Proble`me1 Notations: •n´da3´preeiruuoe´ag`lesigneunentiersu •M n (Rsedelbmesecirtam)ns’etles´eescarrdred’ornffieica`oc´reenest.sl   x 1   n nnesXvecteurs de= esR. •On identifie les matrices unicolo  .  d’ordrenavec l x n n •Rduroupiduntmesot´equenonineraclaiatics< .,. > ..ipard´efin:    x 1 y 1 n P    siX= etY= ,alors< X,Y>=x k y k .  .   .  k=1 x n y n t En identifiant les matrices deM 1 (Rclver´eslseena,o:a)>< X,Y=XY. •I n ciieamrtenalsegideit´ed´edntM n (R). •A n est la matrice deM n (Rlagee´´nrermtelentdo)a i,j 1siset´egal`a|i−j|0a`loniste1=age´n.     0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0     Ainsi, par exemple,A 3 = 10 1 etA 4 = .   0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1. MontrerqueA 3 est diagonalisable. De´terminerunematriceinversiblePdeM 3 (R) et une matrice diagonaleDdeM 3 (R) telles que −1 A 3 =P DP. 2. Soitθ∈]0;πgnep´esi.Ond[raS θ el´es(leuisssrtebmesedelne’ls k ) k∈N telles ques 0 = 0 et pour tout entier naturelk,s k+2 −2 cosθ s k+l +s k = 0. sinkθ Montrer que, si la suite (s k ) k∈N arappt`atienS θ , alors pour tout entier naturelk:s k =s 1 . sinθ Ende´duirequeS θ seutenpscaveectorielr´eeldedneminois.1

1