EML 2000 mathematiques classe prepa hec (ece)

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a31X02P=aM0a1:aa:XaXa2J=1MaaaXaM=aJ;1X2J1:0ha;RJ30X1R03A::fPh:=MXD=1PJDPR1Aa20=1M0a2:@a=>M2::Ra3X=X@22=0M2a1M1af:aEcole Supe´rieuredeCommercedeLyonConcours d’entree´ 2000Mathematiques´1` ere epreuv´ e (option economique)´Mardi 2 mai 2000 de 8 heures a1` 2heuresExercice 1 :On consider` e une matrice carre´e d’ordre 3 :et l’endomorphisme de de matrice dans la base canonique deOn concide`re, pour tout nombre reel´ la matrice carree´ re´elle d’ordre 3 :1. (a) Det´ erminer les valeurs propres et les sous-espaces propres def:(b) Montrer que est diagonalisable. De´terminer une matrice re´elle diagonale d’ordre trois et une matricer´eelle inversible d’ordre trois telles quePDP(c) En de´duire que, pour tout nombre reel´ , il existe une matrice re´elle diagonale d’ordre trois, que l’oncalculera, telle quePD(d) Quel est l’ensemble des nombres reel´ s tels que soit inversible ?2. On se propose, dans cette question, de de´terminer l’ensemble des nombres reel´ s tels qu’il existe une matricecarree´ re´elle d’ordre trois ver´ ifiant(a) Soient un nombre reel´ et une matrice carree´ re´elle d’ordre trois tels quei. Montrer que commute avec puis que commute avecii. On note l’endomorphisme de de matrice dans la base canonique de D´ eduire de la questionprec´ ed´ ente que tout vecteur propre de est vecteur propre deiii. Etablir qu’il existe une ...

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• Langue: Français

Extrait

Ecole Sup´

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Concours d’entr´ee 2000

Math´ematiques

1`ere ´epreuve (option ´economique)

Mardi 2 mai 2000 de 8 heures `

a

1

2

h

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u

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s

Exercice 1 :

On consid`ere une matrice carr´ee d’ordre 3 :

et l’endomorphisme

de

de matrice

dans la base canonique de

On concid`ere, pour tout nombre r´eel

la matrice carr´ee r´eelle d’ordre 3 :

1.

(a) D´eterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de

(b) Montrer que

est diagonalisable. D´eterminer une matrice r´eelle diagonale

d’ordre trois et une matrice

r´eelle inversible

d’ordre trois telles que

(c) En d´eduire que, pour tout nombre r´eel

, il existe une matrice r´eelle diagonale

d’ordre trois, que l’on

calculera, telle que

(d) Quel est l’ensemble des nombres r´eels

tels que

soit inversible ?

2. On se propose, dans cette question, de d´eterminer l’ensemble des nombres r´eels

tels qu’il existe une matrice

carr´ee r´eelle d’ordre trois v´erifiant

(a) Soient

un nombre r´eel et

une matrice carr´ee r´eelle d’ordre trois tels que

i. Montrer que

commute avec

puis que

commute avec

ii. On note

l’endomorphisme de

de matrice

dans la base canonique de

D´eduire de la question

pr´ec´edente que tout vecteur propre de

est vecteur propre de

iii. Etablir qu’il existe une matrice r´eelle diagonale

d’ordre trois telle que

et montrer :

iv. En d´eduire :

(b) R´eciproquement, montrer que, pour tout nombre r´eel

sup´erieur ou ´egal `a 2, il existe une matrice carr´ee r´eelle

d’ordre trois telle que

(c) Conclure.

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