EML 2001 mathematiques classe prepa hec (ecs)

Description

Programme ESC d’E.M.LYONCONCOURS D’ENTREE 2001MATHEMATIQUES1`ere ´epreuve (option scientifique)Les candidats ne doivent pas faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Probl`eme 11 1On note I = [− ; ].2 2Le but du probl`eme est la construction d’une application f : I 7→R, continue et telle que:xZ1 2∀x∈ I, f(x) = 1+ (f(t)+f(t ))dt20On consid`ere les applications f : I 7→R, pour n ∈N, d´efinies par f = 1 (application constante ´egale `an 01) et:xZ1 2∀n∈N,∀x∈ I, f (x) = 1+ (f (t)+f (t ))dtn+1 n n201.(a) Montrer que, pour tout n∈N, f est une application polynomiale.n2 3x x(b) V´erifier que, pour tout x∈ I, f (x) = 1+x et f (x) = 1+x+ + , et calculer f (x).1 2 34 6×2. Pour tout n∈N , la fonction continue |f −f | admet une borne sup´erieure sur I.n n−1On note D = sup|f (x)−f (x)|.n n n−1x∈I(a) Calculer D et D .1 21×(b) Montrer: ∀n∈N ,∀x∈ I, |f (x)−f (x)|≤ D .n+1 n n21 1On pourra ´etudier s´epar´ement les cas x∈ [0; ] et x∈ [− ;0].2 21×(c) En d´eduire: ∀n∈N , D ≤ .n n2P´(d) Etablir la convergence de la s´erie D .nn≥1PEn d´eduire que, pour tout x fix´e dans I, la s´erie (f (x)−f (x)) converge.n n−1n≥1´3. Etablir que, pour tout x fix´e dans I, la suite (f (x)) converge.n n∈NOn d´efinit ainsi une application f : I 7→R par: ∀x∈ I,f(x) = lim f (x).nn→+∞14. On note, pour tout n∈N, M = sup|f (x)|.n nx∈I1×(a) ...

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Programme ESC d’E.M.LYON CONCOURS D’ENTREE 2001

MATHEMATIQUES 1e`ree´preuve(optionscientifique)

Lescandidatsnedoiventpasfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel ´electroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’unere`glegradue´eestautoris´ee.

Proble`me1 1 1 On noteI= [−; ]. 2 2 Lebutduproble`meestlaconstructiond’uneapplicationf:I7→R, continue et telle que: x Z 1 2 ∀x∈I, f(x) = 1 +(f(t) +f(t))dt 2 0 Onconside`relesapplicationsf n :I7→R, pourn∈Nd´efiniesrap,f 0 ga´eteanstonnciotacilppa(1=ela` 1) et: x Z 1 2 ∀n∈N,∀x∈I, f n+1 (x) = 1 +(f n (t) +f n (t))dt 2 0 1. (a) Montrerque, pour toutn∈N,f n est une application polynomiale. 2 3 x x (b)V´erifierque,pourtoutx∈I, f 1 (x) = 1 +xetf 2 (x) = 1 +x+ +, et calculerf 3 (x). 4 6 × 2. Pourtoutn∈N, la fonction continue|f n −f n−1 |aroenus´pmdtenubeurerieuresI. On noteD n = sup|f n (x)−f n−1 (x)|. x∈I (a) CalculerD 1 etD 2 . 1 × (b) Montrer:∀n∈N,∀x∈I,|f n+1 (x)−f n (x)| ≤D n . 2 1 1 Onpourra´etudierse´par´ementlescasx∈[0; ]etx∈[−; 0]. 2 2 1 × (c)Ende´duire:∀n∈N, D n ≤. n 2 P ´ (d)Etablirlaconvergencedelase´rieD n . n≥1 P End´eduireque,pourtoutx´xfinadesIeri(,l´easf n (x)−f n−1 (x)) converge. n≥1 ´ 3. Etablirque, pour toutxfixe´adsnI, la suite (f n (x)) n∈N converge. Onde´finitainsiuneapplicationf:I7→Rpar:∀x∈I,f(xlim) =f n (x). n→+∞ 1