EML 2003 mathematiques classe prepa hec (ecs)

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6E.M.Lyon. Math 1 . Option S. 2003PROBLEME 1On consid`ere l’application ϕ : [0;+∞[→R d´efinie, pour tout r´eel t∈ [0;+∞[, par :(sintsi t = 0ϕ(t) =t1 si t = 0et on consid`ere, pour tout entier n> 1, les int´egrales :Z Z Z+∞ 1 +∞ n n nI = ϕ(t) dt, J = ϕ(t) dt, K = ϕ(t) dtn n n0 0 1Partie I : R´esultats g´en´eraux sur ϕ et Jn1) Montrer que ϕ est continue sur [0;+∞[ et que, pour tout entier n> 1, l’int´egrale J existe.n2)a)Montrer que ϕ est strictement positive sur [0;1] et que ϕ est strictement d´ecroissante sur[0;1].´b)Etablir, pour tout r´eel t∈]0,+∞[ : |ϕ(t)| < 1.3)a)Montrer, pour tout r´eel t∈ [0;+∞[ : ϕ(t)> 1−t.2(On pourra ´etudier les variations sur [0;+∞[ de l’application t7→ sint−t+t ).1b)En d´eduire, pour tout entier n> 1 : J > .nn+1´Partie II : Etude de I1Z Zx xsint cosx cost1)a)Montrer, pour tout r´eel x∈ [1;+∞[ : dt = cos1− − dt.2t x t1 1b)En d´eduire que les int´egrales K et I sont convergentes.1 1122)a)Montrer, pour tout r´eel t∈ [0;+∞[ : |sint|> sin t = 1−cos(2t) .2Z +∞ cos(2t)b)Montrer que l’int´egrale dt converge.2t1c) D´eduire des deux questions pr´ec´edentes que l’int´egrale I n’est pas absolument convergente.1´Partie III : Etude de I , pour n> 2n1)a)Montrer que, pour tout entier n> 2, l’int´egrale K est convergente.n1´b)Etablir, pour tout entier n> 2 : |K |6nn−12)a)Montrer que la suite (J ) est d´ecroissante.n n>2b)Montrer que la suite (J ) converge; on note ‘ sa limite.n n>2´c) Etablir, pour tout entier n> ...

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E.M.Lyon. Math 1 . Option S. 2003

PROBLEME 1

Onconside`rel’applicationϕ+: [0;∞[→Rnie,d´efiottuoprul´reet∈[0; +∞[, par : ( sint sit6= 0 ϕ(t) = t 1 sit= 0 etonconsid`ere,pourtoutentiern>rge´selael,1tnis: Z ZZ +∞1 +∞   n   n   n I n =ϕ(t) dt, J n =ϕ(t) dt, K n =ϕ(t) dt 0 01 PartieI:Re´sultatsge´n´erauxsurϕetJ n 1)Montrer queϕ+est continue sur [0;∞[ et que, pour tout entiern>1l,gr´ent’iealJ n existe. 2)a)Montrer queϕ1] et queest strictement positive sur [0;ϕoicranssenem´etdtststciretuser [0; 1]. ´ b)urtoutr´ablir,potEleet∈]0,+∞[ :|ϕ(t)|<1. 3)a)ertronMlerte´truop,uot∈[0; +∞[ :ϕ(t)>1−t. 2 (Onpourra´etudierlesvariationssur[0;+∞[ de l’applicationt7→sint−t+t). 1 b)End´eduirep,uotruoettneirn>1 :J n >. n+ 1 ´ Partie II : Etude deI 1 Z Z x x sintcosxcost 1)a)ruot,roptneroMeelutr´x∈[1; +∞d[ :t1= cos− −dt. 2 t xt 1 1 b)deiueruqnE´degraleselesint´K 1 etI 1 sont convergentes.   1 2 2)a)tMoourrpeonrt,leer´utt∈[0; +∞[ :|sint|>sint= 1−cos(2t) . 2 Z +∞ cos(2t) b)Mnouqldertrent’igr´eealtconverge. 2t 1 c)edxuuqseitnops´rD´eduiredesealgr´enti’leuqsetnede´ceI 1 n’est pas absolument convergente.

´ Partie III : Etude deI n , pourn>2

1)a)Montrer que, pour tout entiern>int´egrale2,l’K n est convergente. 1 ´ b)Etablir, pour tout entiern>2 :|K n |6 n−1 2)a)Montrer que la suite (J n ) n>2 e.ntsaorsi´dceets b)Montrer que la suite (J n ) n>2 on noteconverge ;`sa limite. ´ c)Etablir, pour tout entiern>tt2etrouel´ea∈:]0; 1[ Z Z a1   n   n   n ϕ(t) dt6aetϕ(t) dt6(1−a)ϕ(a) 0a (On pourra utiliser I.2.). d)uotre´rteriuuop,Enedd´ela∈: 0]0; 1[6`6aet conclure :`= 0. 3)a)Montrer que, pour tout entiern>l,2ale´egr’intI n est convergente. ´ b)limEtablir :I n = 0. n→+∞