Epita 2004 epreuve commune classe prepa mp epreuve commune 2004 classe prepa mp

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E.P.I.T.A.Concours 2004 – Mathématiques (3 heures)__________________________________________Dans ce problème, on étudie les équations intégrales de Volterra, qui s'écrivent sous la formesuivante où f : [0, 1] → R et k : [0, 1] x [0, 1] → R désignent deux fonctions continues données,et où u : [0, 1] → R est une fonction continue, inconnue ici, astreinte à vérifier pour 0 ≤ x ≤ 1 :x(1) ux()−=k(x,t)u(td)t f(x).∫0Les trois premières questions sont consacrées à des cas particuliers de cette équation, tandis quela question 4 propose l'étude générale de l'existence et de l'unicité d'une solution u.x1°) On pose ux()= 1, puis ux()=−(xt)u(t)dt pour 0 ≤ x ≤ 1 et pour n ∈ N.0 nn+1∫0a) Calculer u (x), u (x), u (x), puis par récurrence u (x).1 2 3 nb) Calculer la somme U(x) de la série u (x) + u (x) + … + u (x) + …0 1 nnc) V(xu (x) – u (x) + … +(–1) u (x) + …0 1 nd) Vérifier que U et V sont respectivement solutions des équations suivantes :x(2) .ux()−−(x t)u(t)dt=1∫0x(3) .ux()(t x)u(t)dt=1∫0x2°) On pose ux()=x, puis ux()=−(xt)u(t)dt pour 0 ≤ x ≤ 1 et pour n ∈ N.0 nn+1∫0a) Calculer la somme U(x) de la série u (x) + u (x) + … + u (x) + …0 1 nnb) V(xu (x) – u (x) + … +(–1) u (x) + …0 1 nc) Vérifier que U et Vx(4) ux()−−(x t)u(t)dt=x.∫0x(5) ux()(t x)u(t)dt=x.∫0x3°) On pose ux()=f()x , puis ux()= λu(t)dt pour 0 ≤ x ≤ 1 et pour n ∈ N (où λ réel donné).0 nn+1∫0n+1a) Vérifier par récurrence l'égalité suivante pour une fonction g ...

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E.P.I.T.A. Concours 2004 – Mathématiques (3 heures) __________________________________________

Dans ce problème, on étudie les équations intégrales de Volterra, qui s'écrivent sous la forme suivante oùf: [0, 1]→Retk: [0, 1] x [0, 1]→Rdésignent deux fonctions continues données, et oùu: [0, 1]→Rest une fonction continue, inconnue ici, astreinte à vérifier pour 0 ≤x≤ 1 : x (1) u(x)−k(x,t)u(t)dt=f(x) . ∫ 0 Les trois premières questions sont consacrées à des cas particuliers de cette équation, tandis que la question 4 propose l'étude générale de l'existence et de l'unicité d'une solutionu.

x 1°) On pos u(x)=(x−t)u(t)dt pour 0 ≤x≤ 1 et pourn∈N. e u 0 (x)=1 , puis n+1n ∫ 0 a)Calculeru 1 (x),u 2 (x),u 3 (x), puis par récurrenceu n (x). b)Calculer la sommeU(x) de la sérieu 0 (x) +u 1 (x) + … +u n (x) + … n c)Calculer la sommeV(x) de la sérieu 0 (x) –u 1 (x) + … +(–1)u n (x) + … d)Vérifier queUetVsont respectivement solutions des équations suivantes : x (2) u(x)−(x−t)u(t)dt=1 . ∫ 0 x (3) u(x)−(t−x)u(t)dt=1 . ∫ 0

x u xx x tu xdtu t 2°) On pose 0 ( )= , puis n+1 ( )=(−) n ( ) pour 0 ≤x≤ 1 et pourn∈N. ∫ 0 a)Calculer la sommeU(x) de la sérieu 0 (x) +u 1 (x) + … +u n (x) + … n b)Calculer la sommeV(x) de la sérieu 0 (x) –u 1 (x) + … +(–1)u n (x) + … c) VérifierqueUetVsont respectivement solutions des équations suivantes : x (4) u(x)−(x−t)u(t)dt=x . ∫ 0 x (5) u(x)−(t−x)u(t)dt=x . ∫ 0

x u xf x u tdt 3°) On pose 0 ( )=( ) , puis u n+1 (x)=λ n ( ) pour 0 ≤x≤ 1 et pourn∈N(oùλréel donné). ∫ 0 n+1 a)Vérifier par récurrence l'égalité suivante pour une fonctiong: [0, 1]→R:de classe C n k n x x xt (k) (−) (n+1) g(x)=g(0)+g(t)dt . ∑ k! ∫ 0 n! k =0 b)Etudier les dérivées deu n+1 et en déduire que : n+1n x λ(x−t) t u n1 (x)=f(t)d . ∫ n! + 0 c)En déduire alors (avec les justifications nécessaires) la sommeU(x) de la série de fonctions x u 0 (x) +u 1 (x) + … +u n (xen fonction de) + …f(x), exp(λx) et exp(−λt)f(t)dt . ∫ 0 d) Endéduire queUest solution de l'équation suivante : x (6) u(x)−λu(t)dt=f(x) . ∫ 0 e) Retrouvercette solution en résolvant une équation différentielle convenable.