Epreuve optionnelle 2005 Classe Prepa MP EPITA

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Examen du Supérieur EPITA. Sujet de Epreuve optionnelle 2005. Retrouvez le corrigé Epreuve optionnelle 2005 sur Bankexam.fr.

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• 2005
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• Publié par: bankexam
• Publié le: 01 mars 2007
• Nombre de lectures: 79
• Langue: Français

Extrait

E.P.I.T.A. - Concours2005

Option - durée 2h

” ” Dans ce problème, le plan est rapporté à un repère orthonormé directH0;i,jL. On considère dans ce contexte : - le cercle!centré enWH8, 0Let de rayon=8. - la droite"d'équationx=2. = - une droite" t passant par l'origine, d'équationxy toùtdésigne un paramètre réel. Dans la suite, on représentera sur une même figure les résultats obtenus au fil des questions. Cette figure fera apparaître seulement le demi-planx0 et elle sera construite avec soin sur une feuille séparée en choisissant (approximativement)pour unité 1cm.

1°)Introduction a) Déterminer une équation cartésienne du cercle!. les coordonnées des points d'intersection de!et".  OnnoteraAetBces deux points en supposant queAest celui d'ordonnée positive.  Représentersur la figure le cercle!, la droite"et les pointsAetB. " " c) Déterminer les coordonnées dePHtLet de, point d'intersection de t . H L!  Déterminerles coordonnées deQ t, point d'intersection (distinct deO) deet de" t d) En déduire les coordonnées du milieu du segment@PHtL,QHtLD.  Déterminerles valeurs du paramètretpour lesquelles ce milieu est égal àAouB.

On se propose maintenant d'étudier la courbe paramétréeG:töMHtLdéfinie par : 2 2 t+9tHt+9L xHtL= ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ;yHtL= ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ. 2 2 t+1t+1

2°)Etude des variations des fonctions x et y a) ComparerH-tLetxHtL,yH-tLetyHtL.  Qu'endéduit-on géométriquement pour la courbeG? les limites deHtLetyHtLquandttend vers +¶.  Qu'endéduit-on pour les branches infinies de la courbeG? £ £ c) CalculerHtLetyHtLet étudier le signe de ces fonctions.  Endéduire les coordonnées des pointsUetVoù la tangente est horizontale.  OnnoteraUetVces deux points en supposant queUest celui d'ordonnée positive.  Endéduire les coordonnées du pointIoù la tangente est verticale. d) Dresser un tableau de variation commun aux fonctionsxetypourt0.

3°)Construction de la courbeG a) Représenter les pointsI,U,V, leurs tangentes et la branche infinie deGsur la figure. avec soin la courbe représentative deGsur la figure.

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4°)Condition d'alignement de points de la courbeG On considère trois points distincts deG, de paramètrest 1 ,t 2 ,t 3 . a) En remarquant que trois tels points ne peuvent être alignés sur une droite verticale, établir l'équivalence des trois conditions suivantes : H LH LL - lestrois pointst 1 ,M t 2 ,MHt 3 sont alignés. 2 H Le!" =H L=H L+ - ilexistem,htel que :i1, 2, 3:y t i m x t i h. 2 32 il existeHm,hLe!tel que :-" =Hm+ -H + -i1, 2, 3:t i hLt+9t i 9m hL=0. i que cette dernière condition équivaut aussi à l'existence d'un coupleHm,hLtel que : 3 2 LH-- =H+L+ + 1 X t 2 LHX-h XX m9X HX-t t 3 L H9m+hL. L HL Ht 1 L,MHt 2 ,M t 3 sont alignés. c) En déduire à quelle condition surt 1 ,t 2 ,t 3 les points

5°)Calculs d'aires p Pour tout pointHx,yLdu demi-plan>0, on posex=rcosHqL,y=rsinHqLavec†q§< ÅÅÅÅ. 2 a) Montrer, lorsque=MHtL, que tanHqL=tet qu'une équation polaire deGest 9cosHqL+sinHqL r= ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ. cosq désigne par#le domaine borné délimité par la courbeGet les deux droitesOUetOV. Montrer que son aire$est égale à l'intégrale suivante : p ÅÅÅÅÅ 2 2 2 3 1 9cosHqL+sinHqL $= ÅÅÅÅJÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅNdq.  2 p cosHqL - ÅÅÅÅÅ En déduire la valeur de l'aire$du domaine#. c) Expliciter, sous la former=fHqLla droite asymptote de, une équation polaire deG. d) En déduire que l'aire du domaine borné#HaLcompris entre la courbeG, son asymptote et p les deux droites d'angles polaires –aeta(avec 0< a <ÅÅÅÅ) est égale à l'intégrale suivante : 2 a 2 2 I9cosHqL+sinHqLM-1 1 $HaL= ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅdq.  2 2 cosHqL -a p Etudier si cette intégrale admet ou non une limite finie lorsqueatend versÅÅÅÅ. 2 Déterminer celle-ci si elle existe.

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