Esc 2002 mathematiques classe prepa hec (s) mathematiques 2002 classe prepa hec (s)

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ESC 2002. math. Option scientifique.EXERCICE 1On rappelle que lorsque Y est une variable al´eatoire admettant une esp´erance E(Y) et un ´ecart-Y −E(Y)??type non nulσ , on noteY la variable centr´ee r´eduite associ´ee `aY, d´efinie parY = .YσYSoit n un entier naturel non nul.On consid`ere n variables al´eatoires ind´ependantes X ,X ,...,X , suivant la mˆeme loi, et1 2 nadmettant une esp´erance not´ee m et un ´ecart-type strictement positif not´e σ.On pose ´egalement S =X +X +···+X .n 1 2 nEnfin on note Φ la fonction de r´epartition d’une variable suivant la loi normale centr´ee r´eduite.1)a)Montrer que S admet une esp´erance et une variance et les exprimer en fonction de n , mnet σ.?b)En d´eduire l’expression de S en fonction de S .nnDans la suite de l’exercice, on pose pour tout entier naturel n non nul et pour tout r´eel β :? βp =P(|S | 0. 1β+2a) Montrer que p =P |S −nm|<σ.n .n,β n1b)Montrer en utilisant l’in´egalit´e de Bienaym´e-Tchebychev que p ≥ 1− .n,β 2βnc) En d´eduire la limite de la suite (p ) ∗ .n,β n∈N4) On suppose ici que β < 0, et que X ,X ,...,X suivent la loi normale centr´ee r´eduite.1 2 n?a) Quelle est la loi de la variable S ? de la variable S ...

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ESC 2002.math. Option scientifique. EXERCICE 1 On rappelle que lorsqueYvarituneal´eableerdataionautemtterp´esneceanseE(Yace´nute)-tr Y−E(Y) ? ? type non nulσ Y , on noteYlecentr´lavariabsaeticos´reeiudee`´eaYfin´epaie,rdY= . σ Y Soitnun entier naturel non nul. Onconsid`erennadnsetaatle´esrbeloiianadrsivpe´eX 1 , X 2 , . . . , X n emol,ite,suivantlamˆe admettantuneesp´erancenote´emute-trace´nfionsoti´testritypeentpctemσ. Onpose´egalementS n =X 1 +X 2 +∙ ∙ ∙+X n . EnfinonnoteΦlafonctionder´epartitiond’unevariablesuivantlaloinormalecentr´eer´eduite. 1)a)Montrer queS n xpseleetnfremeridnoitcnoeetunadm´eraeesputencneenaecavirn,m etσ. ? n f b)End´eduirel’exrpseisnoedS n dee onctionS n . Dans la suite de l’exercice, on pose pour tout entier naturelntuotruoptelunnonleer´β: ? β |< n) p n,β =P(|S n Oncherche`a´etudierlalimitedelasuite(p n,β ) n∈N dieffassdsrce´ntee.uarnfigd ∗ 2)On supposeβ= 0. a)medeoe`rmitilelaergrontruth´aceaMenec´etrueeqmlip n,0 = Φ(1)−Φ(−1). n→+∞ b)elruparpco´heeedDonneruneva)(1eΦnnodnO(etimilettec'0.8413 ). 3)On supposeβ >0.   1 β+ 2 a)Montrer quep n,β =P|S n −nm|< σ.n. 1 b)eevnqauyem´e-iTtc´heedbyecBhii’´ngelalisinaltertrutenonMp n,β ≥1− 2β . n c)itimeledirdualelEdne´iusa(etp n,β ) n∈N . ∗ 4)On suppose ici queβ <0, et queX 1 , X 2 , . . . , X n ee´rdeiuet.lantveuis´rtnecelamroniol ? ? a)Quelle est la loi de la variableS n ? de la variableS n   β b)Montrer que pour tout entier naturelnnon nul,p n,β = 2Φ(n)−Φ(0) . c)neΦeeuq0iunide´tlantntcotinusali:rleirmentMop n,β = 0. n→+∞ r 2 β d):euq,0neΦede´tlibivari´eadtlannetulisiMnortrep n,β ∼.n. n→+∞ π EXERCICE 2 2 SoitEl’ensemble des suites (a n ) n∈N deeer´telsetermeg´en´eralllseuqlesae´irdeaconverge. n Danscet´enonc´eonemploielanotationaesigurd´nesuinteeruop(a n ) n∈N r´eedesl. 1)a)Montrer queEest un espace vectoriel surR. b)elnonnulrtoutr´euoPαitsuedie`eral,noocsnu(α´e)diefin:rap n α ∀n∈N, u n (α) = √ n! V´erifierquelessuitesu(αe´le´sededstnemsont)E. 2)a)Montrer que siaetbsno´tlee´emntsdeEeireetedgemr´ne´aler,alorslas´a n b n est absolument convergente. b)cilppa’lΦtioSsurfiniend´eatioE×Enasrudsavela`Rpar : +∞ X ∀(a, b)∈E×E,Φ((a, b)) =a n b n n=0 Montrer que Φ est un produit scalaire surE. On notera alorsha, bi= Φ(a, b), et||.|| 2 i´eessoc`aΦ.mraealon