EXERCICE 1 On considère les matrices carrées d'ordre 3 suivantes : 0 1 1 - 4 3 3 1 0 1 1 0 0Ø ø Ø ø Ø ø Ø øŒ œ Œ œ Œ œ Œ œG = 0 2 0 , H = - 3 2 3 , P = 1 1 0 , I = 0 1 0 Œ œ Œ œ Œ œ Œ œŒ œ Œ œ Œ œ Œ œ- 2 1 3 - 3 3 2 1 - 1 1 0 0 1º ß º ß º ß º ßØ1ø Ø 0 ø Ø1ø Ø0øŒ œ Œ œ Œ œ Œ œainsi que les matrices colonne d'ordre 3 : , , , . X = 1 X = 1 X = 0 O = 01 2 3Œ œ Œ œ Œ œ Œ œŒ1œ Œ- 1œ Œ1œ Œ0œº ß º ß º ß º ß1. Déterminer les valeurs propres de G et vérifier que X , X , X sont des vecteurs propres de G. 1 2 32. (a) Calculer les produits HX , HX , HX . 1 2 3-1 -1 (b) Montrer que la matrice P est inversible , et que les produits P GP et P HP fournissent deux matrices diagonales ( que l'on déterminera ). (c) Montrer que 0 est valeur propre de H - G , avec comme sous-espace propre associé la droite engendrée par X . 1Montrer que 0 est valeur propre de 2H + G , avec comme sous-espace propre associé la droite engendrée par X . 2Montrer que 0 est valeur propre de H + G , avec comme sous-espace propre associé la droite engendrée par X . 3On note dans toute la suite f l'application définie sur (IR) par f ( M ) = HMG - GMH . 33. (a) Montrer que f est un endomorphisme de (IR ) . 3 (b) On suppose que M est une matrice appartenant au noyau Ker( f ) . b1. Montrer que pour toute matrice colonne X d'ordre 3 , HMGX - GMHX = O . En déduire les relations : (H - G)MX = O . 1 (2H + G)MX = O . 2 (H + G)MX = O . 3b2. Montrer ...
EXERCICE 1
On considère les matrices carrées d'ordre 3 suivantes :
0 1 1 - 4 3 3 1 0 1 1 0 0Ø ø Ø ø Ø ø Ø ø
Œ œ Œ œ Œ œ Œ œG = 0 2 0 , H = - 3 2 3 , P = 1 1 0 , I = 0 1 0 Œ œ Œ œ Œ œ Œ œ
Œ œ Œ œ Œ œ Œ œ- 2 1 3 - 3 3 2 1 - 1 1 0 0 1º ß º ß º ß º ß
Ø1ø Ø 0 ø Ø1ø Ø0ø
Œ œ Œ œ Œ œ Œ œainsi que les matrices colonne d'ordre 3 : , , , . X = 1 X = 1 X = 0 O = 01 2 3Œ œ Œ œ Œ œ Œ œ
Œ1œ Œ- 1œ Œ1œ Œ0œº ß º ß º ß º ß
1. Déterminer les valeurs propres de G et vérifier que X , X , X sont des vecteurs propres de G. 1 2 3
2. (a) Calculer les produits HX , HX , HX . 1 2 3
-1 -1 (b) Montrer que la matrice P est inversible , et que les produits P GP et P HP
fournissent deux matrices diagonales ( que l'on déterminera ).
(c) Montrer que 0 est valeur propre de H - G , avec comme sous-espace propre associé
la droite engendrée par X . 1
Montrer que 0 est valeur propre de 2H + G , avec comme sous-espace propre associé
la droite engendrée par X . 2
Montrer que 0 est valeur propre de H + G , avec comme sous-espace propre associé
la droite engendrée par X . 3
On note dans toute la suite f l'application définie sur (IR) par f ( M ) = HMG - GMH . 3
3. (a) Montrer que f est un endomorphisme de (IR ) . 3
(b) On suppose que M est une matrice appartenant au noyau Ker( f ) . b1. Montrer que pour toute matrice colonne X d'ordre 3 , HMGX - GMHX = O .
En déduire les relations : (H - G)MX = O . 1
(2H + G)MX = O . 2
(H + G)MX = O . 3
b2. Montrer alors en utilisant la question 2(c) qu'il existe trois réels a , b , g tels que
MX = aX , MX = bX , MX = gX . 1 1 2 2 3 3
a 0 0Ø ø
-1 Œ œ b3. En déduire la relation P MP = 0 b 0 . Œ œ
Œ 0 0 gœº ß
a 0 0Ø ø
-1 3Œ œ(c) Soit E l'ensemble de toutes les matrices P 0 b 0 P , où (a , b , c ) ˛ IR . Œ œ
Œ œ0 0 cº ß
Montrer que E est un sous-espace vectoriel de (IR ) de dimension inférieure ou égale à 3 . 3
Déduire de la question 3.(b) que Ker( f ) Ì E . 2 2 2 2 (d) Montrer que HG = GH , HG = G H et H G = GH .
En déduire que les matrices et sont éléments de . I , G H Ker( f )
(e) Montrer que la famille ( I, G, H ) est libre. Par une argumentation liée aux dimensions ,
montrer enfin que la famille ( I, G, H ) est une base de Ker( f ) .
EXERCICE 2
+On considère pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 la fonction f définie sur IR par : n
-tef (t) = . n n1 + t
+1. (a) Justifier la dérivabilité de la fonction f sur IR . n
f (b) Etudier les variations de la fonction , préciser sa limite en + ¥ et sa valeur en 0. n
2. Etude d'une suite d'intégrales impropres.
+¥
On pose pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 : n I = f (t)dtn nò0
( Il est démontré dans le (a) que chacune de ces intégrales est convergente ).
1 (a) Montrer que pour tout réel t strictement positif , f (t) £ . n nt
+¥
En déduire la convergence de l'intégrale f (t)dt , puis de l'intégrale I . n nò1
+¥
(b) Montrer que lim f (t)dt = 0 . nònfi+¥ 1
-t n (c) Montrer que pour tout réel t positif , 0 £ e - f (t) £ t . n
1
1 (d) En déduire . lim f (t)dt = 1 -nò enfi+¥ 0
(e) Déterminer lim I . nnfi+¥
3. Etude d'une fonction définie par des limites.
(a) Pour tout réel t positif , déterminer lim f (t) . ( On distinguera t < 1 , t = 1 , t > 1 ). nnfi+¥
+ (b) Dès lors , on définit sur une fonction par . IR h h(t) = lim f (t)nnfi+¥
-1 Donner la courbe représentative de h dans un repère orthonormé. ( On donne e @ 0,37 )
h est-elle continue ?
+¥ +¥ +¥
(c) Etudier l'intégrale h(t)dt . A-t-on ici lim f (t)dt = lim f (t)dt ? n nò ò ònfi+¥ nfi+¥0 0 0
EXERCICE 3
Lorsque A et B sont deux événements d'un même espace probabilisé , on désignera par P (A) la probabilité B
conditionnelle de A sachant B , où B est un événement de probabilité non nulle : P (A) = P(A / B) . B
Dans cet exercice N désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
XUn joueur lance une pièce équilibrée indéfiniment. On note la variable aléatoire réelle discrète N
égale au nombre de fois où , au cours des N premiers lancers , deux résultats successifs ont été différents.
( On peut appeler X le " nombre de changements " au cours des N premiers lancers ). N
Par exemple , si les 9 premiers lancers ont donné successivement :
Pile , Pile , Face , Pile , Face , Face , Face , Pile , Pile
alors la variable X aura pris la valeur 4 ( quatre changements, aux 3° , 4° , 5° et 8° lancers ). 9
1. Justifier que X (W) = {0, , N - 1 }. N
2. Déterminer la loi de X ainsi que son espérance. Déterminer la loi de X . 2 3
N -1 N1 13. Montrer que P(X = 0) = ( ) et P(X = 1) = 2(N - 1) ( ) . N N2 2
4. (a) Justifier que pour tout entier k de {0 ,..., N - 1 } :
1 1 P (X = k) = ( C'est à dire P(X = k / X = k) = ) X =k N +1 N +1 N2 2N
(b) En déduire que pour tout entier k de {0 ,..., N - 1 } :
1P( X - X = 0 ˙ X = k ) = P( X = k ) . N +1 N N N2
1 (c) En sommant cette relation de k = 0 à N - 1 , montrer que P( X - X = 0 ) = . N +1 N 2
1 (d) Montrer que la variable X - X suit une loi de Bernoulli de paramètre . N +1 N 2
1 En déduire la relation E( X ) = + E( X ) , puis donner E( X ) en fonction de N. N +1 N N2
5. (a) Montrer grâce aux résultats 4(b) et 4(c) que les variables X - X et X sont indépendantes. N +1 N N
1 (b) En déduire par récurrence sur N que X suit une loi binômiale %( N - 1, ) . N 2
En déduire la variance V( X ) . N