Esc 2005 mathematiques classe prepa hec (s) mathematiques 2005 classe prepa hec (s)

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Epreuve ESC 2005, option scientifiqueEXERCICE 1 a c b Pour tout triplet de r´eels (a,b,c) on pose M = c a+b c .a,b,cb c a1) Justifier que pour tout triplet de r´eels (a,b,c) la matrice M est diagonalisable.a,b,c 32) On pose E = M ,(a,b,c)∈R .a,b,cMontrer que E est unR-espace vectoriel dont on d´eterminera une base et la dimension.33) On pose C = M et h l’endomorphisme de R de matrice C dans la base canonique de0,0,13R .2 3a) Calculer C et C . Donner un polynˆome annulateur de C.b)En d´eduire les valeurs propres et les sous-espaces propres de h .3c) Donner une base deR form´ee de vecteurs propres pour h, et orthonorm´ee pour le produit3scalaire canonique deR .34) On pose B = M et g l’endomorphisme de R de matrice B dans la base canonique de0,1,03R .a) Montrer que g et h commutent.b)Montrer que tout vecteur propre de h est un vecteur propre de g.c) En d´eduire queg eth sont diagonalisables dans une mˆeme base et donner les valeurs propresde g.5)a)Exprimer M en fonction de I, B, C et des r´eels a, b et c.a,b,cb)En d´eduire les valeurs propres et les sous-espaces propres de Ma,b,c6) Soit c un r´eel fix´e.3 3On consid`ere l’application Φ :R ×R →R telle que pour tous triplets de r´eels (x,y,z) etc0 0 0(x,y ,z ) :   0x x0 0 0 t 0 0 0   Φ (x,y,z),(x,y ,z ) = XM X ou` X = y et X = yc 2,1,c0z z√ √On pose u = (−1,0,1), u = (1, 2,1), u = (1,− 2,1).1 2 33a) Montrer que Φ est une forme bilin´eaire sym´etrique deR .cb)Calculer les 6 ...

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Epreuve ESC 2005, option scientifique

EXERCICE 1   a c b   Pourtouttripletdere´els(a, b, c) on poseM a,b,c =c a+b c. b c a 1)(sdtree´leJrqfietiusotruopeuelpirttua, b, c) la matriceM a,b,c est diagonalisable.   3 2)On poseE=M a,b,c ,(a, b, c)∈R. Montrer queEest unRisne.nounraasebtleeimadleirotcevecapse-nemieretd´onntdo 3 3)On poseC=M 0,0,1 ethl’endomorphisme deRde matriceCdans la base canonique de 3 R. 2 3 a)CalculerCetCrenuoDnnˆnmoopyldrueennae.taluC. b)elirvaesndEdu´eedserppacesprossous-esrpseteelelrupsorh. 3 c)Donner une base deRm´orfourresprppouesrevtceeedh´retehpo,neotromeproourludti 3 scalaire canonique deR. 3 4)On poseB=M 0,1,0 etgl’endomorphisme deRde matriceBdans la base canonique de 3 R. a)Montrer quegethcommutent. b)Montrer que tout vecteur propre dehest un vecteur propre deg. c)deiueruqenE´dgethseualsvlereopprrssnadmenuasilselbdoeternnmeˆesebatdiagonason deg. 5)a)ExprimerM a,b,c en fonction deI,B,Cselrse´teeda,betc. b)ee-pscaserppoerdspropresetlessousiudeelerlavssrued´EnM a,b,c 6)Soitcnue.x´lfieer´ 3 3 Onconside`rel’applicationΦ c :R×R→Rtelel´es(etplersduotrirtsuqeluopex, y, z) et 0 0 0 (zx ,y ,) :    0 x x   0 0 0t 0 0 0    Φ c (x, y, z),(zy ,x ,) =XM 2,1,c X`ouX=yetX=y 0 z z √ √ On poseu 1 = (−1,0,1), u 2 = (1,2,1), u 3 = (1,−2,1). 3 a)Montrer que Φ c teiruqdeermfonetues´myseriae´nilibeR. b)Calculer les 6 valeurs Φ c (u i , u j ) pour 16i6j63. h i   3 3 c)ΦEtablir : c (u 2 , u 2 )>0 et Φ c (u 3 , u 3 )>0⇐⇒c∈ − √ ; √ . 2 2 3 d)ssrdeel´eete´Dl’erinrmlembseenctels que Φ c essirpnudnfie´lairesuroduitscaR.