Escp eap 1999 mathematiques iii classe prepa hec (ecs) mathematiques iii 1999 classe prepa hec (ecs)

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6E.S.C.Paris 1999Option EconomiqueMATHEMATIQUES IIIEXERCICE ISoitM (R) l’ensemble des matrices carr´ees d’ordre 2 muni de sa structure d’espace vectoriel et soit2J la matrice 0 1J =1 0On consid`ere l’application S de M (R) dans lui-mˆeme qui associe a` tout ´el´ement M de M (R)2 2l’´el´ement S(M) =JMJ.1. a) Montrer que l’application S ainsi d´efinie est un automorphisme de l’espace vectorielM (R). Quel est l’automorphisme r´eciproque de S?2b) Montrer que si M et N sont deux ´el´ements quelconques de M (R), on a S(MN) =2S(M)S(N)2. On consid`ere les ´el´ements 1 0 0 1 1 0 0 1I = J = K = L =0 1 1 0 0 −1 −1 0Montrer que (I,J,K,L) forme une base de l’espace vectorielM (R).23. Montrer que I, J, K, L sont des vecteurs propres de S. D´eterminer la matrice repr´esentantl’automorphisme S dans la base (I,J,K,L).4. Soit F l’ensemble des ´el´ements M de M (R) v´erifiant S(M) = M et soit G l’ensemble des2´el´ements M deM (R)(R) V´erifiant S(M) =−M. Montrer queF etG sont des sous-espaces2vectoriels deM (R) et que tout ´el´ement M deM (R) peut s’´ecrire d’une mani`ere et d’une2 2seule sous la forme M =M +M avec M ∈F et M ∈G .+ − + − 3 −1A titre d’exemple, d´eterminer les matrices A et A lorsque A = .+ − 1 −25. a) Montrer que le produit de deux matrices appartenant `a F appartient aussi `a F. Quepeut-on dire du produit de deux ´el´ements deG ?b) Plus pr´ecis´ement, pour deux matrices M et N deM (R), exprimer (MN) et (MN)2 + −en fonction ...

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E.S.C.Paris 1999 Option Economique MATHEMATIQUES III EXERCICE I SoitM 2 (Relstiotevtcroeiense)l’desmmbleeccstaireedsra´r2mrerd’oasesidunerutcurtecapse’d Jla matrice   0 1 J= 1 0 Onconside`rel’applicationSdeM 2 (Rmeqe-iˆmsnul)adout´e`atsociuiastneme´leMdeM 2 (R) l’´ele´mentS(M) =J M J. 1. a)Montrer que l’applicationSlcepaesl’ieorctveantumorohpsiemedainsid´efinieestu M 2 (R).Q’ltseleuqoeuicrpedmorpautoer´ehismS? b)Montrer que siMetNeml´tsendent´euxoseudseuqleocqnM 2 (R), on aS(M N) = S(M)S(N) 2.sntme´eels´leree`disnocnO      1 00 11 00 1 I=J=K=L= 0 11 00−1−1 0 Montrer que (I, J, K, L) forme une base de l’espace vectorielM 2 (R). 3.Montrer queI, J, K, Lsont des vecteurs propres deSD´.eretnemimalrirtaerece´rpnatestn l’automorphismeSdans la base (I, J, K, L). 4.SoitFslee´emtns´delembseenl’MdeM 2 (Rnt)v´erifiaS(M) =Met soitGl’ensemble des ´ele´mentsMdeM 2 (R(R)tnfiari´e)VS(M) =−Mque. MontrerFetGsont des sous-espaces vectoriels deM 2 (Ruotele´teme´tn)quetMdeM 2 (Rrideu’enamine`er)peuts’´ecrenu’dte seule sous la formeM=M + +M − avecM + ∈ FetM − ∈ G.   3−1 Atitred’exemple,d´eterminerlesmatricesA + etA − lorsqueA= . 1−2 5. a)mealterpircoedsuointtdreedrequxuna`taMpaaptrneFssauai`rtpantiepaF. Que peut-ondireduproduitdedeux´el´ementsdeG? b)lPt,enems´ci´eprussecirtamxuedruopMetNdeM 2 (R), exprimer (M N) + et (M N) − en fonction deM + ,M − ,N + etN − . EXERCICE II Pour tout entierks,2a`lagtiop´ersuou´eieurf k falndiocton0suri]efin´e,+∞[ par : k ln (x) f k (x) =six >0 etx6et= 1f k (1) = 0 x−1 1.Etude des fonctionsf k . a)Soitk´uorueire´pusreintneu`a2.egal Justifierlade´rivabilite´delafonctionf k sur ]0,1[∪]1,+∞delatp[e´rcesirealavelru 0 d´eriv´eef(x), pour toutxntnatearppa]0`a,1[∪]1,+∞[. k 0 en 1 et donner, selon les valeurs dek, la valeur def Montrer quef k std´eableeriv k (1) ESCP 1999 Eco IIIPage 1/ 4