Escp eap 2000 mathematiques ii classe prepa hec (ecs) mathematiques ii 2000 classe prepa hec (ecs)

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CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION ECONOMIQUEMATHEMATIQUES IIAnnØe 2000La prØsentation, la lisibilitØ, l’orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision desraisonnements entreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout matØrielØlectronique est interdite.Seule l’utilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.EXERCICE I 0 11 2 @ A 1 Dans tout l exercice, dØsigne un paramŁtre rØel. On considŁre la matrice A = et on2 2 +13 3:note l endomorphisme de R reprØsentØ par A dans la base canonique deR1. (a) Montrer que, quel que soit , el ndomorphisme admet la valeur propre 1.(b) On note E () le sous-espace propre de associØ à la valeur propre 1.1 DØterminer, suivant les valeurs de a, une base de E ().132. On considŁre les vecteurs f = (1;1; 1) et f = (1;1; 2) et on note F le sous-espace deR engendrØ par1 2 1f et f .1 2(a) Montrer que (f;f ) est une base de F .l 2 l(b) Montrer que l image par de tout vecteur de F appartient à F .1 1^(c) Soit l endomorphisme de F induit par , c est- -dire vØri ant, ...

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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON

CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESII Année 2000

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

EXERCICE I 0 1 1 2 @ A Dans tout lexercice,désigne un paramètre réel.On considère la matriceA  = 1 et on 22+ 1 3 3: notelendomorphisme deRreprésenté parA  dans la base canonique deR  1. (a)Montrer que, quel que soit, lendomorphismeadmet la valeur propre1.  (b) OnnoteE 1 ()le sous-espace propre deassocié à la valeur propre1.  Déterminer, suivant les valeurs de a, une base deE 1 (). 3 2. Onconsidère les vecteursf 1 = (1;1;1)etf 2 = (1;1;2)et on noteF 1 le sous-espace deRengendré par f 1 etf 2 . (a) Montrerque(f l ; f 2 )est une base deF l . (b) Montrerque limage parde tout vecteur deF 1 appartient àF 1 .  ^ endomorphisme deFinduit p (c) Soit  l 1 ar, cest-à-dire vériant,.pour tout vecteurVdeF 1 ,  ^ (V) =(V)   ^ er la matre)deF 1 . Donn iced  dans la base(f l ; f 2 3. Montrerque, pour tout réel, lendomorphismeadmet la valeur propre1et quon peut trouver un  3 vecteurf 3 deRne dépendant pas de, qui soit, pour tout réel, vecteur propre deassocié à la valeur  propre1. 3 e dean (a) Montrerque(f l; f 2 ; f 3 )est une base deR. Donnerla matric  cette base.d s (b) Pourquelles valeurs du paramètrelendomorphismeest-il diagonalisable ? 

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