Escp eap 2001 mathematiques iii classe prepa hec (ecs) mathematiques iii 2001 classe prepa hec (ecs)

Description

BA1c=)a;b;c0(0C0)Ba;b;cW(1C=)0c@b;Ca;0(APM;B))(RW(03BM;M130R0)Bc;b;1a;1(1)=a;b;cP()CU;M3+AbHv+3=E)Aa;b;c3(0C@)0a;b;cN(ACCA030R0)0c1b;Aa;0(HAA=100B0@0101@201I2V1=2P1W3V1(CBAR;(AUC+W10E0R021A00RConcours ESCP 2001 option e´conomiqueMathematiques IIIExercice 1A. On consider` e la matrice d´ efinie par:et on note l’endomorphisme de repres´ entep´ ar dans la base canonique.1. a) Montrer que admet les valeurs propres 1 et 2 et n’en admet pas d’autre.D´ eterminer les sous-espaces propres et associes´ a` ces valeurs propresb) La matrice est-elle diagonalisable?2. Soit un vecteur propre de associe`´ a la valeur propre 1. Trouver un vecteur de telque)= .3. Soit un vecteur propre de associe`´ a la valeur propre 2. Montrer que la familleU;V;West une base de .4. D´ eterminer la matrice repres´ entant l’endomorphisme dans la base ainsi qu’unematrice inversible telle qu’on ait l’egal´ ite´ .´B. Etant donnees´ les matriceson associe a` tout el´ em´ ent de la matrice d´ efinie par:aIOn note l’ensemble des matrices o` u d´ ecrit .1. Montrer que est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des matrices carrees´d’ordre 3 et det´ erminer sa dimension.2. V´ erifier que la matrice d´ efinie en A.4 appartient a` .3. Precis´ er les conditions que doivent ver´ ifier pour que soit inversible. Det´ erminer ...

Informations

• Publié par: aiolos
• Nombre de lectures: 682
• Langue: Français

Extrait

Concours ESCP 2001 option

´

economique

Mathematiques III

Exercice 1

A.

On consid`ere la matrice

d´efinie par:

et on note

l’endomorphisme de

repr´esent´

e

p

a

r

dans la base canonique.

1. a)

Montrer que

admet les valeurs propres 1 et 2 et n’en admet pas d’autre.

D´eterminer les sous-espaces propres

et

associ´es `a ces valeurs propres

b)

La matrice

est-elle diagonalisable?

2.

Soit

un vecteur propre de

associ´

e

`a la valeur propre 1. Trouver un vecteur

de

tel

que

.

3.

Soit

un vecteur propre de

associ´

e

`a la valeur propre 2. Montrer que la famille

est une base de

.

4.

D´eterminer la matrice

repr´esentant l’endomorphisme

dans la base

ainsi qu’une

matrice inversible

telle qu’on ait l’´egalit´e

.

B.

´

Etant donn´ees les matrices

on associe `a tout ´el´ement

de

la matrice

d´efinie par:

On note

l’ensemble des matrices

o`u

d´ecrit

.

1.

Montrer que

est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel

des matrices carr´ees

d’ordre 3 et d´eterminer sa dimension.

2.

V´erifier que la matrice

d´efinie en A.4 appartient `a

.

3.

Pr´eciser les conditions que doivent v´erifier

pour que

soit inversible. D´eterminer,

quand elle existe, sa matrice inverse.

4.

D´eterminer les valeurs propres de

.

Montrer que cette matrice est diagonalisable si et seulement si

est nul.

1