Escp eap 2003 mathematiques iii classe prepa hec (ecs) mathematiques iii 2003 classe prepa hec (ecs)

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ESCP-EAP´OPTION ECONOMIQUE´MATHEMATIQUES IIIJeudi 15 mai 2003, de 8h `a 12h.La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision desraisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es `a encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.EXERCICESoit a, b deux entiers naturels non nuls et s leur somme.Une urne contient initialement a boules noires et b boules blanches indiscernables au toucher.On effectue dans cette urne une suite infinie de tirages au hasard d’une boule selon le protocole suivant :– si la boule tir´ee est blanche, elle est remise dans l’urne;– si la boule tir´ee est noire, elle est remplac´ee dans l’urne par une boule blanche prise dans une r´eserveannexe.Avant chaque tirage, l’urne contient donc toujours s boules.On d´esigne par (Ω,B,P) un espace probabilis´e qui mod´elise cette exp´erience et, pour tout entier naturel nnon nul, on note :– B l’´ev´enement « la n-i`eme boule tir´ee est blanche»;n– X la variable al´eatoire d´esignant le nombre de boules blanches tir´ees au cours des n premiers tirages;n– u l’esp´erance de la variable al´eatoire X , c’est-`a-dire u =E(X ).n n n n´1. Etude d’un ensemble de suitesSoit A ...

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ESCP-EAP

´ OPTION ECONOMIQUE

´ MATHEMATIQUES III

Jeudi15mai2003,de8ha`12h.

Lapr´esentation,lalisibilit´e,l’orthographe,laqualite´delare´daction,laclart´eetlapr´ecisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedansl’appr´eciationdescopies. Lescandidatssontinvit´es`aencadrerdanslamesuredupossiblelesr´esultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel ´electroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’unere`glegradu´eeestautoris´ee.

EXERCICE Soita, bdeux entiers naturels non nuls etsleur somme. Une urne contient initialementaboules noires etbboules blanches indiscernables au toucher. On effectue dans cette urne une suite infinie de tirages au hasard d’une boule selon le protocole suivant : –silabouletire´eestblanche,elleestremisedansl’urne; –silabouletire´eestnoire,elleestremplace´edansl’urneparunebouleblancheprisedansuner´eserve annexe. Avant chaque tirage, l’urne contient donc toujourssboules. Onde´signepar(Ω,B,Pecetelismod´equiil´sabibpeorpscane)uuterltiennaerurpouttocnei,teexeetre´pn non nul, on note : –B n ’´ev´enementl«lan-i`emeboecheetslbnaluterie´»; –X n redenombntleignaseitnahcselboblusdersouucsaeer´valaabrieriose´dlaeltae´npremiers tirages; –u n le’pse´arcndeelavariableal´earioteX n ir-d,ese’ca`-tu n =E(X n ). ´ 1. Etuded’un ensemble de suites SoitAl’ensemble des suites (x n ) n>1 enifit:euli´seqeerrv´d ∗ ∀n∈Nx, s n+1 = (s−1)x n +b+n ∗ a) Soitαetβes(tduerxe´lev n ) n>1 :rapiefin´eeditsula∀n∈N, v n =α n+β. De´terminerenfonctiondebet desles valeurs deαetβpour que la suite (v n ) n>1 appartienne a`A. b) Soit(x n ) n>1 at`anetiusenunetrappaA, (v n ) n>1 laaqueeee`taldnepnrt´esct´ieodee´ustinie´etmr ∗ (y n ) n>1 r:panfieidee´ustial∀n∈N, y n =x n −v n . Montrer que la suite (y n ) n>1 cilir,teeequxpteitneanreruoptuotestunoe´mteirseiuet´glutern non nul,y n puisx n en fonction dex 1 , b, setn.

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