Escp eap 2004 mathematiques i classe prepa hec (ecs) mathematiques i 2004 classe prepa hec (ecs)

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ESCP 2004, math 1, option scientifiqueOn note E l’ensemble des fonctions f de R dans R pour lesquelles il existe une suite r´eelle∗s = (s ) , dite adapt´ee a` f, telle que :n n∈Nn−1X k∗∀n∈N , ∀x∈R, f(x+ ) =s f(nx) (1)nnk=0L’ensemble des fonctions deR dansR est not´e F(R,R).Les polynˆomes consid´er´es sont a` coefficients r´eels, et tout polynˆome P sera confondu avec lafonction polynomiale, ´el´ement de F(R,R), qui lui est naturellement associ´ee.Pour tout entier naturel p non nul, et toute fonction p fois d´erivable f, de R dans R, la d´eriv´ee(p) 0p-i`eme de la fonction f est not´ee f (la d´eriv´ee premi`ere de f est aussi not´ee f ).On rappelle que, T ´etant un r´eel non nul, une fonction f de R dans R est dite T-p´eriodiquelorsque :∀x∈R, f(x+T) =f(x)L’objet du probl`eme est de d´eterminer certaines des fonctions f satisfaisant l’´equation (1).Partie I : R´esultats g´en´eraux et exemples d’´el´ements de E1) Soit f une fonction appartenant `a E, autre que la fonction nulle. Montrer qu’il existe une∗unique suite s = (s ) adapt´ee `a f, et que s = 1.n n∈N 102) Montrer que si f est une fonction d´erivable appartenant `a E, alors la d´eriv´ee f de fappartient a` E.3) Montrer que les fonctions constantes appartiennent a` E.1´4) Soit A la fonction deR dansR qui a` x associe x− . Etablir que A est ´el´ement de E.25) E constitue-t-il un sous-espace vectoriel duR-espace vectoriel F(R,R)?6) Soit χ la fonction deR dansR d´efinie par :1 si x∈Z∀x∈R, χ(x) ...

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ESCP 2004, math 1, option scientifique

On noteEl’ensemble des fonctionsfdeRdansRpesquourliselleelueenixts´eeritsuleel s= (s n ) n∈N e´`ead,tpadaetif, telle que : ∗ n−1 X k ∗ ∀n∈N,∀x∈R, f(x=+ )s n f(nx) (1) n k=0 L’ensemble des fonctions deRdansR´etnotesF(R,R). Lespolynoˆmesconsid´ere´ssont`acoefficientsr´eels,ettoutpolynoˆmePsera confondu avec la fonctionpolynomiale,´el´ementdeF(R,R)eiuliuq,´ieessco.turestnaentallem Pour tout entier naturelpnon nul, et toute fonctionpsi´dreviableoff, deRdansRe,el´vire´da (p)0 pnioctonafeledme`i-fese´enttof`eredreemi´eeperival´d(fstaueeot´essinf). On rappelle que,Tta´eeer´unnt,lunnonltcnofenuionfdeRdansRest diteTp-e´irdoqieu lorsque : ∀x∈R, f(x+T) =f(x) L’objetduproble`meestded´eterminercertainesdesfonctionsf)1.uqtaoi(n´el’ntsaaisftisa

PartieI:R´esultatsg´ene´rauxetexemplesd’´el´ementsdeE

1)Soitftrappanoa`tnaneutincfoneE, autre que la fonction nulle. Montrer qu’il existe une uniquesuites= (s n ) n∈N adapt´ee`af, et ques 1 = 1. ∗ 0 2)Montrer que sifana`ttrnepaapleabiverd´ontincofenutseE´eeerivlad´lorsa,fdef appartienta`E. 3)rtiennentn`taesappasnocsnatfsnotcoirqreleuentMoE. 1 ´ 4)SoitAla fonction deRdansRuqai`xassociex−. Etablir queAdementel´e´tseE. 2 5) Econstitue-t-il un sous-espace vectoriel duR-espace vectorielF(R,R) ? 6)Soitχla fonction deRdansR:´dinfierape  1 six∈Z ∀x∈R, χ(x) = 0 six6∈Z Pour tout entier naturel non nulnttelee´rtuoxstlancaesstdiguineretd´,enr,neminx∈Z n−1 X k etnx6∈Z, la valeur de la sommeχ(x+ ). n k=0 End´eduirequeχarppaa`tneitEetiusal,.1ela`e´agtn,esnatntco´etat´eeadap n−1 X k 2ipπ(x+ ) n 7)a)leeoPotru´rtuxet tous entiers naturels non nulspetnedd´e,ncaetlculerreuie, k=0 que : n−1 n X   k ncos(2pπx) sipest multiple den cos 2pπ(x=+ ) n 0 sinon k=0 b)Soitula fonction deRdansRa`iuqxassocie cos(2πx). Montrer queueitna`paaptrE, et pr´eciserlasuiteadapte´ea`u. 1 q+1 c)fiireuJtstruop,uoeltr´exledecnegdeire´sag´meeretlra´eenoc(s2,nverlacoπx). q 2 +∞ X 1 q+1 Soit alorsvla fonction deRdansRuqa`ixassocie cos(2πx). Montrer quev q 2 q=0 appartient`aEe´`eadtptiaealusiserr´ec,etpav.