ESSEC 1999 mathematiques i classe prepa hec (ect)

Description

ESSECMBACONCOURS D’ADMISSIONOption technologiqueMATHEMATIQUESILa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es a` encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel ´electroniqueest interdite. Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Si au cours de l’´epreuve un candidat rep`ere ce qui lui semble une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copie etpoursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amen´e `a prendre.Exercice I: Un probl`eme de placement.On se propose de comparer les deux placements suivants:– placer au taux d’int´erˆet r une somme 2S pendant t ann´ees.– placer au taux d’int´erˆet 2r. une somme 2S pendant t ann´ees.1. Expressions des sommes obtenues a` l’issue de t ann´ees de placement.(a) On place une somme de 25 francs au taux d’int´erˆet r pendant une ann´ee. De quelle somme dispose-t-on`a l’issue de l’ann´ee de placement?(b) D´eterminer la somme S (t) obtenue en pla¸cant au taux d’int´erˆet r une somme de 25 francs durant t1ann´ees.(c) On place une somme de S francs au taux d’int´erˆet 2r pendant une ann´ee. De quelle somme dispose-t-ona` l’issue de l’ann´ee de placement?(d) D´eterminer la somme S (t) ...

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Extrait

ESSEC M B A

CONCOURS D’ADMISSION

Option technologique

MATHEMATIQUES I

Lapr´esentation,lalisibilite´,l’orthographe,laqualite´delare´daction,laclart´eetlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedansl’appr´eciationdescopies. Lescandidatssontinvite´s`aencadreruderssopelbirseldalanssumeaccllu.s´esultatsdeleurs Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riele´lectronique estinterdite.Seulel’utilisationd’unere`glegradue´eestautoris´ee. Siaucoursdel’´epreuveuncandidatrep`erecequiluisembleuneerreurd’e´nonce´,illesignalerasursacopieet poursuivrasacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’ilseraamen´ea`prendre.

ExerciceI:Unproble`medeplacement. On se propose de comparer les deux placements suivants: –placerautauxd’int´erˆetrune somme 2Spendantt.seen´an –placerautauxd’int´erˆet2r. une somme 2Spendanttnnaes´e. 1.Expressionsdessommesobtenues`al’issuedetanne´seedlpca.tneme (a)Onplaceunesommede25francsautauxd’int´erˆetrneanantupendt-e-ondimeossplleumoseee´nqeD. `al’issuedel’anne´edeplacement? (b)D´eterminerlasommeS 1 (ttbneeuneo)taaud’uxa¸plntcat´tnieˆrerune somme de 25 francs durantt anne´es. (c) Onplace une somme deS´treeˆ2tni’dxuatuascnarfrpneadtnuneann´ee.Dequeloseldemmopsit-esn-o `al’issuedel’anne´edeplacement? (d)D´eterminerlasommeS 2 (trˆ´e2etxdaunt’ietbo)lanpeenuuttaan¸crune somme deSfrancs durantt ann´ees. (e)De´terminerenfonctionderomenllee´rerbtpinfie´delit´´egaarl’S 1 (t) =S 2 (t). 2.Etudedutempsd’e´galisationdessommesobtenuesenfonctionder. Onposepourtoutnombrere´elstrictementpositifr: ln 2 T(r) = ln (1 + 2r)−ln (1 +r) (a)D´eterminerlad´eriv´eeetlesensdevariationsur]0;+∞[ de la fonctionr→−7ln (1 + 2r)−ln (1 +r).

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