ESSEC 1999 mathematiques ii classe prepa hec (ecs)

Description

ESSECMBACONCOURS D’ADMISSIONOption scientifiqueMATHEMATIQUESIILa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es a` encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel ´electroniqueest interdite. Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Si au cours de l’´epreuve un candidat rep`ere ce qui lui semble une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copie etpoursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amen´e a` prendre.L’objectifdeceprobl`emeestl’´etudedelamod´elisationdel’accroissementd’unepopulation,tantparlesnaissancesque par l’immigration.Cette ´etude est effectu´ee dans la partie II, tandis que, dans la partie I, on ´etablit un r´esultat probabilistepr´eliminaire.Dans tout le probl`eme enfin, on admettra que l’on a pour tout couple de nombres r´eels (α,x) tel que α > 0 et06x< 1, la formule suivante, dite formule du binˆome g´en´eralis´ee:1 α(α+1) α(α+1)...(α+n−1)2 n= 1+αx+ x +···+ x +...α(1−x) 2! n!c’est-`a-dire+∞X1 α(α+1)...(α+n−1) n= xα(1−x) n!n=0+∞Pk−1 nOn explicitera, `a l’aide de cette formule, la somme de la s´erie C x pour 06x< 1.n+k−1n=0Quelles formules classiques reconnaˆıt-on pour α = 1 et 2?Partie 1On ...

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ESSEC M B A

CONCOURS D’ADMISSION

Option scientifique

MATHEMATIQUES II

Lapr´esentation,lalisibilit´e,l’orthographe,laqualite´delar´edaction,laclarte´etlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedansl’appr´eciationdescopies. Lescandidatssontinvit´esa`encadrerpudeissolelb´rseandamslureslaucsl.esultatsdeleursc Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riele´lectronique estinterdite.Seulel’utilisationd’unere`glegradue´eestautorise´e. Siaucoursdel’e´preuveuncandidatrep`erecequiluisembleuneerreurd’e´nonc´e,illesignalerasursacopieet poursuivrasacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’ilseraamene´a`prendre.

L’objectifdeceproble`meestl’e´tudedelamode´lisationdel’accroissementd’unepopulation,tantparlesnaissances que par l’immigration. Cettee´tudeesteffectu´eedanslapartieII,tandisque,danslapartieI,on´etablitunr´esultatprobabiliste pr´eliminaire. Danstoutleproble`meenfin,onadmettraquel’onapourtoutcoupledenombresre´els(α,x) tel queα >0 et 06x <1, la formule suivante, diteeˆeo:meg´enu´leerdaluibsi´nofmr 1α(α+ 1)α(α+ 1). . .(α+n−1) 2n = 1 +αx+x+∙ ∙ ∙+x+. . . α (1−x) 2!n! c’est-`a-dire +∞ X 1α(α+ 1). . .(α+n−1) n =x α (1−x)n! n=0 +∞ P k−1 n Onexplicitera,a`l’aidedecetteformule,lasommedelas´erieC xpour 06x <1. n+k−1 n=0 Quelles formules classiques reconnaˆıt-on pourα= 1 et 2?

Partie 1 One´tudiedanscettepartieuneloideprobabilit´e,ditetavi.eaiel´ngeloibinomsevuerpe´’detuiesunre`eidnsconO deBernoulliidentiques,inde´pendantesetmenantausucce`saveclaprobabilite´p(0< p <1). Pour tout nombre entierk>dno,1arpengise´X k valaalleabrium´etlenl’´erodeioere´tauqnaniiduveo`preu intervient lekets(`euscce`emi-X k onddenpre´pussruelavsedcu´egalesrieuresoa`k).

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