ESSEC 2000 mathematiques i classe prepa hec (ecs)

Description

ESSEC 2000. Math 1 option scientifiqueDans l’ensemble du probl`eme, on d´esigne par n un nombre entier naturel non nul et par IR [X]nl’espace vectoriel des fonctions-polynomˆ es de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n.On note P le sous-ensemble de IR [X] form´e des fonctions-polynomˆ es unitaires et de degr´e n,n nnautrement dit des fonctions-polynˆomes de degr´e n et dont le coefficient de x est ´egal a` 1.L’objectifduprobl`emeestded´eterminerdesfonctions-polynˆomesP appartenant`aP etr´ealisantnle minimum sur P de chacune des trois expressions suivantes :nsZ Z+1 +12N (P) = |P(x)| dx ; N (P) = P (x)dx ; N (P) = sup |P(x)|1 2 ∞−1≤x≤1−1 −1Les trois parties du probl`eme sont consacr´ees a` la r´esolution des trois probl`emes ainsi d´efinis. Lapartie 1 est ind´ependante des deux suivantes.Partie 1 Minimisation de N (P) pour P d´ecrivant P2 nOn associe `a tout couple (P,Q) de fonctions-polynomˆ es de IR [X] le nombre r´eel suivant :nZ 1hP,Qi = P(t)Q(t)dt01) Montrer que l’application (P,Q)7→hP,Qi d´efinit un produit scalaire sur IR [X].n2) On consid`ere la fonction f associant `a tout n-uplet (x ,x ,...x ) de nombres r´eels0 1 n−1l’expression suivante (qui repr´esente le carr´e de la distance entre les deux fonctions-n n−1polynˆomes t7→t et t7→x t +···+x t+x de IR [X]) :n−1 1 0 nZ 1n n−1 n−2 2f(x ,x ,...,x ) = (t −x t −x t −···−x t−x ) dt0 1 n−1 n−1 n−2 1 00a) Citer avec pr´ecision le th´eor`eme permettant d’affirmer l’existence et l’unicit´e d’un n-uplet(a ,a , ...

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Extrait

ESSEC 2000. Math 1 option scientifique Dansl’ensembleduproble`me,onde´signeparnun nombre entier naturel non nul et par IR n [X] l’espacevectorieldesfonctions-polynˆomesdedegr´einfe´rieurou´egal`an. On note P n le sous-ensemble de IR n [Xer´foncedesorm´]fsemoˆnylop-snoitegedtdsereaiitunn, n autrementditdesfonctions-polynˆomesdedegr´enet dont le coefficient dexes.1`aalegt´ L’objectifduproble`meestded´eterminerdesfonctions-polynoˆmesP`antaParppnate n tnet´raeilas le minimum sur P n de chacune des trois expressions suivantes : s Z Z +1 +1 2 N 1 (P) =|P(x)|dx;N 2 (P) =P(x) dx;N ∞ (Psup) =|P(x)| −1−1 −1≤x≤1 Lestroispartiesduproble`mesontconsacr´ees`alar´esolutiondestroisprobl`emesainsid´efinis.La partie1estind´ependantedesdeuxsuivantes.

Partie 1Minimisation deN 2 (P)pourPcr´edvinatP n Onassocie`atoutcouple(P, Qsnoilop-fed)tcnoReIˆoynsdme n [X:tnaerbr]olmenivsuel´e Z 1 hP, Qi=P(t)Q(t) dt 0 1)Montrer que l’application (P, Q)7→ hP, QiutinorpntiudlacsairesurIRefid´ n [X]. 2)nOocsndie`eralofnoitcnftnaicossautto`an-uplet (x 0 , x 1 , . . . x n−1 elssr´embreedon) l’expressionsuivante(quirepre´sentelecarre´deladistanceentrelesdeuxfonctions- n n−1 polynˆomest7→tett7→x n−1 t+∙ ∙ ∙+x 1 t+x 0 de IR n [X]) : Z 1 n n−1n−2 2 f(x 0 , x 1 , . . . , x n−1 () =t−x n−1 t−x n−2 t− ∙ ∙ ∙ −x 1 t−x 0 ) dt 0 a)elt-npu´rpcevaretiCcesioilnte´hoe`remepermettantd’aemrffie’lrtsixecnel’eticun´eitund’ (a 0 , a 1 , . . . , a n−1 )risan´ealminimeltose´d(muotsnairm´em n ) de l’expressionf(x 0 , x 1 , . . . , x n ) n lorsque (x 0 , x 1 , . . . , x n−1 RI,teomd)e´rctisceuerqrentnmbnoslee´rsera 0 , a 1 , . . . , a n−1 v´erifientlesnrelations suivantes : Z 1 n n−1n−2k (t−a n−1 t−a n−2 t− ∙ ∙ ∙ −a 1 t−a 0 )tdt0o`u0=≤k < n 0 On explicitera cesnrelations en calculant lesnci-drantspoure0ssu´tgenifisugarel≤k < n. b)osepOnpelree´morbuontuotrxdistinct de−1,−2, . . .−n,−n−1 : 1a n−1 a n−2 a 1 a 0 F(x) =−− −− ∙ ∙ ∙ − x+n+ 1x+n x+n−1x+ 2x+ 1 Etablirl’existenced’unre´elatel que l’on ait pourxdistinct de−1,−2, . . .−n,−n−1 : (x+n+ 1)(x+n)(x+n−1)∙ ∙ ∙(x+ 2)(x+ 1)F(x) =ax(x−1)(x−2)∙ ∙ ∙(x−n+ 1). De´terminerlavaleurdeaen faisant tendrexvers−n−1 dans chacun des deux membres del’e´galite´pre´c´edente(onexprimeraaen fonction den! et (2n)!). c)lbri’le´Eatse´tilag:etnaviu Z 1 n n−1n−2n m n =f(a 0 , a 1 , . . . , a n−1 () =t−a n−1 t−a n−2 t− ∙ ∙ ∙ −a 1 t−a 0 )tdt 0 4 (n!) d)Etablir enfin quem n =F(nque)tene´ddeiuerm n = . (2n)!(2n+ 1)! 3)uomtiatnnenaltpeOnr´esasimnoitedblrome`eladenimiN 2 (P) lorsquePditP´ecr n . a)uotrPofcnuoetol-pontimeˆoynPanetrappaPa`tn n , effectuer le changement de variables d´efiniparx= 2t−desionrpse’lxeadsnartnalgrguefi’isl´entnad1N 2 (Ptend)e:euqeriude´ √ n N 2 (P)≥2 2m n . b)erdedu´imEinlemuniemdN 2 (P) lorsquePritPce´d n .