ESSEC 2002 mathematiques i classe prepa hec (ecs)

Description

´ESSEC 2002, Option scientifique, MATHEMATIQUES IDans la suite, on d´esigne par n un nombre entier sup´erieur ou ´egal a` 2 et par R [X] l’espacenvectoriel des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal a` n.On rappelle qu’un polynˆome non nul est dit unitaire lorsque son coefficient dominant (c’est a` direle coefficient de son terme de plus haut degr´e) est ´egal a` 1.L’objet du probl`eme est l’´etude des extrema d’une fonction de plusieurs variables (partie II).A cet effet, on ´etudie auparavant, dans la partie I, une famille de polynˆomes de R [X] et leursnracines.Les deux parties ne sont pas ind´ependantes, mais on pourra admettre des r´esultats de la partie Ipour pouvoir traiter la partie II.Partie I1) D´efinition d’un endomorphisme φ de R [X]n0a) Etablir que l’application associant `a tout polynomˆ eP deR [X] le polynˆomeφ(P) = 2xP −n0 00P” (ou` P etP d´esignent les d´eriv´ees premi`ere et seconde deP) est un endomorphisme deR [X].n2 nb)Ecrire sa matrice dans la base canonique (1,x,x ,...,x ) deR [X].n2) El´ements propres de l’endomorphisme φa) D´eterminer les valeurs propresλ ,λ ,...,λ deφ (on supposera queλ ≤λ ≤...≤λ et0 1 n 0 1 nmontrer que φ est diagonalisable.b)Montrer, pour tout nombre entier p tel que 0≤p≤n, qu’il existe un et un seul polynomeˆunitaire H deR [X] v´erifiant :p n00 0H −2xH +2pH = 0pp pc) Montrer, pour tout nombre entier p tel que 0≤p≤n, que H est n´ecessairement de degr´epp.d) Expliciter les polynˆomes H , H , H , H dans la base ...

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Extrait

´ ESSEC 2002, Option scientifique, MATHEMATIQUES I Danslasuite,ond´esigneparnunreennombus´pitreruuoreeia2l`ga´erpaetR n [X] l’espace vectorieldespolynˆomesdedegr´einf´erieuroue´gala`n. Onrappellequ’unpolynˆomenonnulestditunitairelorsquesoncoefficientdominant(c’est`adire lecoefficientdesontermedeplushautdegr´e)est´egal`a1. L’objetduprobl`emeestl’e´tudedesextremad’unefonctiondeplusieursvariables(partieII). Aceteffet,on´etudieauparavant,danslapartieI,unefamilledepolynoˆmesdeR n [X] et leurs racines. Lesdeuxpartiesnesontpasind´ependantes,maisonpourraadmettredesre´sultatsdelapartieI pour pouvoir traiter la partie II. Partie I 1)D´efinitiond’unendomorphismeφdeR n [X] 0 a)emoˆnyloatErilbitnoilaca’ppuqleoutpt`atcianassoPdeR n [X]eomnˆlypoleφ(P) = 2xP− 0 00 P`ou(”PetPerpse`imire´ee´vedndeetrecosenentlesdd´esigP) est un endomorphisme de R n [X]. 2n b)Ecrire sa matrice dans la base canonique (1, . . . , x, x, x) deR n [X]. 2)Ele´mentspropresdel’endomorphismeφ a)´Dtereesprropsruelavselrenimλ 0 , λ 1 , . . . , λ n deφ(on supposera queλ 0 ≤λ 1 ≤. . .≤λ n et montrer queφest diagonalisable. b)Montrer, pour tout nombre entierptel que 0≤p≤n,qu’ileynolmeˆoutsnueplixtsueen unitaireH p deR n [Xe´v]afiirnt: 00 0 H−2xH+ 2pH p = 0 p p c)Montrer, pour tout nombre entierptel que 0≤p≤n, queH p sente´ecssiarementdedegr´e p. d)xEcilpretipselynolmeˆosH 0 , H 1 , H 2 , H 3 dans la base canonique deR n [X] et calculer les p−1p−2 coefficients dex(1≤p≤n) et dex(2≤p≤nerpxoissnad)e’lsˆomendupolynH p . 3)De´finitiond’unproduitscalairesurR n [X] a)qrertnoMuoesedssce-irctile´eegraint´uel’outce(pl´dtsinfieuopeuotrP, Q) deR n [X] : Z +∞ 2 hP, Qi=P(x)Q(x) exp(−x) dx −∞ b)Montrer alors que l’application (P, Q)∈R n [X]×R n [X]→ hP, Qi ∈Rdnuiittudn´perfio scalaire surR n [X]. 02 2 c)deeev´ri´eadrlmepxirEx7→P(x).exp(−x) en fonction deφ(P)(x).exp(−x), puis prouver qu’on a pour tout couple (P, Q) deR n [X] : hφ(P), Qi=hP, φ(Q)i d)qeriude´EndeuhH p , H q i= 0 lorsquepetqsont deux nombres entiers distincts compris entre 0 etn, puis que (H 0 , H 1 , . . . , H n ) forme une base orthogonale pour ce produit scalaire. Montrer enfin quehH p , Qiˆnylemotourpoutpo=0Qappanetrant`aR p−1 [X] (1≤p≤n). 4)EtudedesracinesdespolynoˆmesH p (1≤p≤n) a)Montrer, en remarquant quehH p , H 0 i0,qu=pelenyloemoˆH p s’annule au moins une fois surRen changeant de signe. b)On notea 1 , a 2 , . . . , a m les racines distinctes deH p en lesquelles celui-ci s’annule et change de signe (avec bien entendum≤p) et on pose alorsP m (x) = (x−a 1 )(x−a 2 ). . .(x−a m ). EtudierlesignedupolynoˆmeH p P m laee´rgi’tndrleavrleualeretnemi´dtehH p , P m isim < p, puisende´duirequem=p. c)puoeleeqniˆrldyue´eonmdEH p admetpracines simples dansR.