ESSEC 2005 mathematiques ii classe prepa hec (ece)

Description

ESSEC 2005, math II, option ´economiqueLes deux parties du probl`eme sont ind´ependantes.Dans ce probl`eme, les variables al´eatoires sont toutes d´efinies sur un espace probabilis´e (Ω,A,P).Si X est une variable al´eatoire r´eelle, E(X) d´esigne son esp´erance.Lorsque (X ) est une suite de variables al´eatoires r´eelles, on note, pour tout n > 1,n n>1nXS = X .n kk=1Pr´eliminaires1) Soit (X ) une suite de variables al´eatoires r´eelles de mˆeme loi, admettant une esp´erance m.n´Enoncer, avec pr´ecision, la loi faible des grands nombres pour la suite (X ).n2) Soitδ un r´eel strictement positif etA un sous-ensemble deR tel que l’intervalle ]m−δ,m+δ[soit inclus dans le compl´ementaire de A. D´eterminer Snlim P ∈An→+∞ nPartie I : Un exemple discretDans cette partie, X est une variable al´eatoire suivant une loi de BernoulliB(p), avec 01nXOn note S = X . On rappelle que P(X = 1) =p, P(X = 0) = 1−p =q.n ii=1sX sX1)a)Montrer que pour tout s r´eel, la variable al´eatoire e admet une esp´erance E(e ).sXb)D´eterminer la fonction ϕ :s7→E(e ).2)a)Pr´eciser la loi de S .nS Sn nb)D´eterminer (Ω) et la loi de la variable al´eatoire .n nSn nsnc) Soit s un r´eel. Montrer que E(e ) = ϕ(s/n) .Soit a un r´eel fix´e de ]0,1[.3)a)On note K ={k∈ [[0,n]]|k/n>a}. Soit s un r´eel positif. Montrer quea XS kn Sns s k k n−k asn nE(e )> e C p q > e P ...

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Extrait

ESSEC2005,mathII,optione´conomique Lesdeuxpartiesduproble`mesontinde´pendantes. Dansceproble`me,lesvariablesale´atoiressonttoutesd´efiniessurunespaceprobabilis´e(Ω,A, P). SiX,eeeller´rseenut´ealoiatrivaleabE(X)´d.ecn´eranespnesoesig Lorsque (X n ) n>1 rserlee´,selonnoiaaresbl´ealoiatte,pourtouteveditsunetuesn>1, n X S n =X k . k=1 Pre´liminaires 1)Soit (X n e´espncratnateenua,iotemdiusenu)iravedetllse´reemeleedˆmsal´ableireseatom. ´ Enoncer,avecpre´cision,laloifaibledesgrandsnombrespourlasuite(X n ). 2)Soitδifetositentpctemtsire´leurnAun sous-ensemble deRtel que l’intervalle ]m−δ, m+δ[ soitinclusdanslecompl´ementairedeAD.e´etmrnire   S n limP∈A n n→+∞ Partie I :Un exemple discret Dans cette partie,Xviuseriotae´laelnoereBidlonetuanluilriabnevaestuB(p), avec 0< p <1. (X n ) n>1 queelsetuotiolemeˆmteanndpentvauissairaselbtiusvedesire´end´ealoiatestuneX. n X On noteS n =X i . On rappelle queP(X= 1) =p, P(X= 0) = 1−p=q. i=1 sX sX 1)a)Montrer que pour touts´ree,lalavirbaelencra´espeeunetmdaeeriotae´laE(e ). sX b)nctioafonnerlreim´Dteϕ:s7→E(e ). 2)a)idloeiseclaer´rPS n . S n S n b)´oeiadteoliarvear(iΩa)beltelaallimenr.´Dtere n n n   S n s n c)Soitsquere.Meltronurne´E(e )=ϕ(s/n) . Soitafix´e´eelunred0],1[. 3)a)On noteK a ={k∈[0, n]]|k/n>a}. SoitseeplsotifiM.norte´rrqnuue   S n X k S n s s k k n−k as E(e )>e Cp q>eP>a n n n n k∈K a b)Montrer que, pour touts>0     n S n −as P>a6ϕ(s/n) e n 4)On suppose dans cette question quea > p. ´ a)Etudier surR + les variations de la fonction` a e´nfieiaprd ` a :s−→7as−lnϕ(s) b)Montrer que la fonction` a atteint surR + un maximum strictement positifh(a, p) que l’on calculera en fonction deaetp. c)Montrer que     −nsup(at−lnϕ(t)) S n −nh(a,p) t>0 P>a6e =e n 5)On suppose dans cette question quea < p, (donc 1−a >1−p). a)idlolaerinrmte´eae´laelbairavaletoireDn−S n .