ESSEC 2007 mathematiques ii classe prepa hec (ece)

Description

Essec maths 2 voie E 2007Le sujet est un problŁme comportant quatre parties notØes I, II, III et IV. La partie II estindØpendante de la partie I. La partie III fait appel aux parties I et II seulement dans les deuxderniŁres questions. La partie IV fait appel à la partie I uniquement dans la derniŁre question.Notations : Tout au long du sujet ( ;F;P) dØsignera un espace probabilisØ et les variablesalØatoires utilisØes seront toutes dØ…nies sur cet espace probabilisØ. Sous rØserve d’existence,l’espØrance mathØmatique d’une variable alØatoire rØelleX sera notØeE(X) et sa variance seranotØe V (X).Rappel : Si Z ;Z ;:::;Z sont n variables alØatoires mutuellement indØpendantes de loi de1 2 nPoisson de paramŁtres respectivement ; ;:::; alors1 2 nnXZ +Z +:::+Z = Z1 2 n ii=1est une variable alØatoire de loi de Poisson de paramŁtrenX + +:::+ = :1 2 n ii=1Ce rØsultat pourra Œtre utiliser dans ce sujet sans dØmonstration.0.1 Partie I : ModØlisation poissonienneOn considŁre une sociØtØ d’assurance comptant N clients et garantissant à chacun d’entreeux un capital d’un montant de s euros en cas de dØcŁs. On suppose que le nombre de dØcŁsannuel suit une loi de Poisson de paramŁtre entier k. Le revenu annuel de la sociØtØ fourni parla perception des primes d’assurance des N clients est au total de ks(1+) euros, oø est unrØelstrictementpositif reprØsentantletauxdesØcuritØquelasociØtØs’accordea…ndefairefaceà un nombre de sinistres plus ØlevØ que la ...

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• Publié par: aiolos
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Extrait

Essec maths 2 voie E 2007

Le sujet est un problème comportant quatre parties notées I, II, III et IV. La partie II est indépendante de la partie I. La partie III fait appel aux parties I et II seulement dans les deux dernières questions. La partie IV fait appel à la partie I uniquement dans la dernière question.

Notations :Tout au long du sujet(;F; P)désignera un espace probabilisé et les variables aléatoires utilisées seront toutes dénies sur cet espace probabilisé. Sous réserve dexistence, lespérance mathématique dune variable aléatoire réelleXsera notéeE(X)et sa variance sera notéeV(X).

Rappel :SiZ 1 ; Z 2 ; :::; Z n sontnvariables aléatoires mutuellement indépendantes de loi de Poisson de paramètres respectivement 1 ;  2 ; :::;  n alors n X Z 1 +Z 2 +:::+Z n =Z i i=1 est une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre n X  1 + 2 +:::+ n = i : i=1 Ce résultat pourra être utiliser dans ce sujet sans démonstration.

0.1 PartieI : Modélisation poissonienne On considère une société dassurance comptantNclients et garantissant à chacun dentre eux un capital dun montant deseuros en cas de décès. On suppose que le nombre de décès annuel suit une loi de Poisson de paramètre entierk. Le revenu annuel de la société fourni par la perception des primes dassurance desNclients est au total deks(1 +)euros, oùest un réel strictement positif représentant le taux de sécurité que la société saccorde an de faire face à un nombre de sinistres plus élevé que la moyenne. La société dispose également dun fond de réserveRdans lequel elle peut puiser exceptionnellement. Un bilan nancier de la société est e¤ectué tous les 5 ans. On noteYle nombre de décès enregistrés sur une période de 5 ans.

A. Résultats généraux : I.A.1. Donner en fonction deset deYla somme totale due par la société aux clients au moment du bilan nancier au bout de5ans. I.A.2. Dans quelles circonstances peut-on considérer queYsuit une loi de Poisson de para- mètre5k? On supposera dorénavant queYsuit une loi de Poisson de paramètre5k. I.A.3. Rappeler sans démonstrationE(Y)etV(Y). I.A.4. Justier lexistence dun nombre réel strictement positif uniquet 0 tel que Z t 0 2 exp (x =2) p dx= 0;99. 1 2 I.A.5. Justier le résultat limite suivant   p P Y5k > t 0 5k!0;01lorsquektend vers+1.

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