FESIC mathematiques 2004

Description

Concours d’entr´ee FESIC 2004EXERCICE 1→− −→Le plan complexe est rapport´eaurep`ere orthonormal (O, u, v ).On consid`ere les points A, B, C et D d’affixes respectives a, b, c et d :a =−2− 2i ; b =2 ; c =2+4i ; d =−2+2i.a. ABCD est un parall´elogramme.πb. Le point E, image de C par la rotation de centre B et d’angle− ,est2un point de l’axe des abscisses.c. Soient f =6i− 4 et F le point d’affixe f.Le triangle CDF est rectangle et isoc`ele en D.d. Soient g =−2i et G le point d’affixe g.Le triangle CDG est rectangle et isoc`ele en D.EXERCICE 2→− →−Le plan complexe est rapport´eaurep`ere orthonormal (O, u, v ).5a. La partie r´eelle de (1 + 2i) est 41.b. On consid`ere trois points quelconques A, B et C du plan d’affixesrespectives a, b et c.L’´ecriture (b−c)=i(a−c) caract´erise une homoth´etie de centre C et derapport i.20c. (1 + i) est r´eel.4d. L’´equation z −1=0poss`ede quatre solutions distinctes dansC.EXERCICE 3→− −→Le plan complexe est rapport´eaurep`ere orthonormal (O, u, v ).Soient A le point d’affixe a =1− i et B le point d’affixe b =2i− 3.`A tout point M d’affixe z, z = b, on associe le point M d’affixez−1+iZ = .z +3− 2ia. L’ensemble des points M d’affixe z tels que Z soit r´eel est le segment[AB].b. Pour tout z diff´erent de −3+2ietde−3− 2i, on obtient la forme(z−1+i)(z +3+2ialg´ebrique de Z par le calcul : ).(z +3− 2i)(zic. L’ensemble des points M d’affixe z tels que M soit un point de l’axe 21 252des ordonn´ees est le cercle d’´equation ...

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Concoursd’entr´eeFESIC2004

EXERCICE 1 −→−→ Leplancomplexeestrapporte´aurepe`reorthonormal(O, u, v). Onconsid`erelespointsA,B,CetDd’affixesrespectivesa, b, cetd:

a=−2−2i ;b;= 2c= 2 + 4i;d=−2 + 2i. a..maemolrglle´unstrapaADeBC π b.Le point E, image de C par la rotation de centre B et d’angle−, est 2 un point de l’axe des abscisses. c.Soientf= 6i−4 et F le point d’affixef. LetriangleCDFestrectangleetisoc`eleenD. d.Soientg=−2i et G le point d’affixeg. LetriangleCDGestrectangleetisoce`leenD. EXERCICE 2 −→−→ Leplancomplexeestrapporte´aurep`ereorthonormal(O, u, v). 5 a.´(e1e+l2tlieedresatp4a1ri)Le. b.inpoisrocoelqutsB,AseuqnalpudCtend’affixescnnoOreteis`d respectivesa, betc. L’e´criture(b−c) = i(a−crac)´tcasireenueceneitdehte´ohometdetreC rapport i. 20 c.e´rtse)i+1(.el 4 d.ontiuaeq’´Lz−snacnitdsetsse`eduq10=optionsdisatresoluC. EXERCICE 3 −→−→ Leplancomplexeestrapport´eaurepe`reorthonormal(O, u, v). Soient A le point d’affixea= 1−i et B le point d’affixeb= 2i−3.  ` A tout pointMd’affixez, z=b, on associe le pointMd’affixe

z−1 + i Z=. z+ 3−2i a.L’ensemble des pointsMd’affixeztels queZtseleengmee´rtseltios [AB]. b.Pour toutzdffie´erntde−et de3 + 2i−3−2i, on obtient la forme (z−1 + i)(z+ 3 + 2i alge´briquedeZ: ).par le calcul (z+ 3−2i)(z+ 3 + 2i  c.L’ensemble des pointsMd’affixeztels queMsoit un point de l’axe   2 1 25 2 desordonn´eesestlecercled’´equation(x+ 1)+y−= ,sauf le point 2 4 B. z−1 + i d.Soitz 0 ulutinesotle’i´seeonndcenoitauqna(o=iexl’etdm z+ 3−2i d’une telle solution).