HEC 2003 concours Maths III ES

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HEC 2003 concours Maths III ES

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• Publié par: porthos
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Extrait

´ ´ ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

´ OPTION ECONOMIQUE

MATHEMATIQUES III

Mercredi7mai2003,de8h`a12h.

Lapr´esentation,lalisibilite´,l’orthographe,laqualite´delare´daction,laclart´eetlapr´ecisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedansl’appre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvite´s`aencadrerdanslamesuredupossiblelesr´esultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel e´lectroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’uner`eglegradu´eeestautoris´ee.

EXERCICE   a b 1.Soitaetb´rxuedeelsstrictementpsotifiestAecicr´ard’eedror´d2einfierape:alamrtA= . b a a) Montrerque siaetbecirtamal,xu´egasontAn’est pas inversible. 2 b) Calculerla matriceA−2aAiseriu,euq.End´edaetbsont distincts, la matriceAest inversible −1 et donner la matriceA. c) Montrerque les valeurs propres deAsonta+beta−b.   a+b0 d)OnposeΔ=.D´eterminerunematriceQsl,eer´tsencieffico`a2erdro’dee´rrac, 0a−b −1 inversibleetdontles´el´ementsdelapremie`relignesont´egaux`a1,v´erifiantA=QΔQ. −1n e) Calculerla matriceQt,`al’aieseitnorpededaluq,ctecualc´´eenedecirlreltamaApour tout entier naturel non nuln. 2.Soitpfiari´elveer´un0tn< p <1 etq1ele´rel−p. On suppose queXetYlbailasetae´eriossontdeuxvar d´efiniessurlemeˆmeespaceprobabilise´(Ω,A,Pequm,´ienodriet)nadnepe´iustesetmˆlantvag´oielem deparame`trep.   X(ω)Y(ω) Pour toutωaprd´esignedeΩ,onM(ω:etnaviu2srerd’oed´errcamatairecl)et Y(ω)X(ω) on noteS(ω) (respectivementD(ω)) la plus grande (respectivement la plus petite) valeur propre de M(ωuxdesiinleabrivanote)atinfie´dΩaeotas´lus(rrise,A,P). p a)Montrerquelaprobabilit´edel’´eve´nement[X=Yep´enndost]e:raP([X=Yet en]) = 2−p d´eduirelaprobabilite´del’e´ve´nement{ω∈Ω ;M(ω) est inversible}. b)Calculerlacovariancedesvariablesale´atoiresSetD.

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