HEC 2004 mathematiques ii classe prepa hec (s)

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HEC 2004, math 2, option scientifiqueToutes les variables al´eatoires qui interviennent dans ce probl`eme sont d´efinies sur un mˆemeespace probabilis´e (Ω,F,P).L’objet de ce probl`eme est la recherche et l’´etude de lois poss´edant une propri´et´e, dite de stabilit´e,qui intervient dans la mod´elisation de nombreux ph´enom`enes satisfaisant une certaine invarianced’´echelle.• Soit X une variable al´eatoire r´eelle. On dit qu’une suite (X ) de variables al´eatoires est unek k>1suite de copies de X si (X ) est une suite de variables ind´ependantes ayant toutes mˆeme loik k>1que X.•Onditqu’unevariableal´eatoirer´eelleX suituneloi stablesiilexisteunesuiter´eellestrictementpositive(a ) telleque,pourtoutesuite(X ) decopiesdeX etpourtoutentiernsup´erieurn n>1 k k>1ou ´egal 1, X +···+X , et a X ont mˆeme loi. On v´erifie facilement l’unicit´e de la suite (a )1 n n n n>1si X n’est pas nulle presque suremeˆ nt. On dira alors que (a ) est la suite associ´ee `a la loi den n>1X.∗On noteN l’ensemble des entiers sup´erieurs ou ´egaux a` 1 (i.e. {1,2,3,...}).1 πOn admettra que∀A> 0, ArctanA+Arctan = ou` l’expression Arctan d´esigne la fonctionA 2π πr´eciproque de la restriction de la fonction tangente a` ]− , [.2 2Partie I : Un r´esultat sur certaines suites positivesSoit (u ) une suite de r´eels strictement positifs v´erifiant les deux propri´et´es suivantes:n n>12∗- pour tout couple d’entiers (m,n)∈N , u =u u ,mn m n2∗- il existe un r´eel strictement positif A tel ...

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HEC 2004, math 2, option scientifique Touteslesvariablesale´atoiresquiinterviennentdansceproble`mesontde´finiessurunmˆeme espaceprobabilise´(Ω,F, P). L’objetdeceprobl`emeestlarechercheetl’´etudedeloisposse´dantunepropri´et´e,ditedestae´tilib, quiintervientdanslamod´elisationdenombreuxphe´nome`nessatisfaisantunecertaineinvariance d’e´chelle. •SoitXairavenuae´laelbu’entiuq(eustier´etoir.OndelleX k ) k>1 esesnetueal´irtobairaselaved suite de copiesdeXsi (X k ) k>1 yasateanndpe´endiselbairavedetiuestunesleioˆmmetusetnot queX. •ui’aubnledvitaqreatOoneal´e´lerireelXsuit une loistableleiisenuetsixe´retiusellestrictement positive (a n ) n>1 telle que, pour toute suite (X k ) k>1 de copies deXet pour tout entierneriesup´ru oue´gal1,X 1 +∙ ∙ ∙+X n , eta n Xetiu(de´tsaleˆetmon´vrefiifeemol.inOtl’uniciacilemena n ) n>1 siXtpesuneu(asn’idnO.tneqsrolaarsqreepllemursˆuea n ) n>1 est lasscotiaesu´ieeidloea`al X. ∗ On noteNe´agxua`(1erssup´erieursousne’lbmesedeitneli.e.{1,2,3, . . .}). 1π On admettra que∀A >0,ArctanAionAress’expo`ul=atnA+crctonniongisfaleatcre´dn A2 π π r´eciproquedelarestrictiondelafonctiontangente`a]−,[. 2 2 PartieI:Unr´esultatsurcertainessuitespositives Soit (u n ) n>1 suitunese´lederestrictement positifsire´´tseusvinaets:erv´porpxuedseltnafii ∗ 2 - pour tout couple d’entiers (m, n)∈N, u mn =u m u n , ∗ 2 -ilexisteunr´eelstrictementpositifAtel que, pour tout couple (m, n)∈N, sim6n, alors u m 6Au n . ∗α Onveutmontrerqu’ilexisteunr´eelpositifαtel que, pour tout entiern∈N,u n =n. 1)Montrer queu 1 = 1. ∗k uple (r, k)∈N×N, u 2)Montrer que, pour tout co r =u r . k ∗ 3)Soitr∈N, r>ilexisteunr´eel.2oMtnerqr’uα r tel que, pour tout entiernde la forme k α r ru`o,kest un entier positif,u n =n. Exprimerα r en fonction deret deu r . ∗ 2 4)Soit (r 1 , r 2 )∈N, r 2 > r 1 >ortninO.2slesr´eeduitalorslα r 1 etα r 2 ´dfieinelsslaon questionpre´ce´dente. ∗ k ` k+1 a)Soitk∈N. Montrer qu’il existe un entier`tel quer6rr <. 2 1 2 k+1k+1 k α r α r k α r α r b)riqeeu(du´endEr)6A(r() etr)6A(r) . 2 11 2 2 22 2 c)En faisant tendrek´etilage´’leriude´,dninfi’islervα r 1 =α r 2 . Conclure. Partie II :La loi gaussienne

Albgeuassnuveraainsit´ed’ondeladerpxeisselepp’lelraOnmedenneienneyomet de variance 2 σ: 2   1 (x−m) f m,σ (x) = √ exp− 2 2 2σ 2 2πσ 1)Soitaue´rnlestrictement positifetbetcconques.edxu´reesluqle Trouvertroisr´eelsα, m, σ, que l’on exprimera en fonction dea,b,ctels que : 2 (x−m) 2 ∀x∈R,+α=ax+bx+c 2 2σ Z r +∞  2    π b−4ac 2 2)nE´deruqdeiuexep−(ax+bx+c) dx.= exp a4a −∞ 0 3)SoientGetGeuxvariadceesr´ntssaunnieiotagserselbe´lancesariasdevnaetepdndne´eeis 2020 0 respectivesσetσ.Rrrentmo´eedallancculaentnsde´eitaleddioleG+G, queG+G estunevariablegaussiennedontondonneral’esp´eranceetlavariance. 4)Montrer queGaltstiuseuQ.eell`aeelolasseai´ocdienuleustibaeliotsG?