HEC 2006 mathematiques iii classe prepa hec (eco)

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CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION ECONOMIQUEMATHEMATIQUES IIIAnnØe 2006La prØsentation, la lisibilitØ, l’orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision desraisonnements entreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout matØrielØlectronique est interdite.Seule l’utilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.EXERCICEDans cet exercice, n dØsigne un entier supØrieur ou Øgal à 2, et deux nombres rØels strictement positifs et Bla matrice deM (R) suivante :n0 10 0 ::: ::: 0B C... .B C. 0 .B C 8B C.. . . b = si j =i+1< i;j. . . .B C. . .0 .B CB = ; c est à dire B = (b ) a = avec b = si j =i 1i;j i;jB. C. . . . :. . . . .B C. . . .. 0 b = 0 sinoni;jB CB. C.. .@ . A. 0 0 ::: ::: 0 0On s intØresse aux valeurs propres de B et pour cela, pour a rØel, on note A =B aI , oø I dØsigne la matricea n nunitØ d ordre n. 0 10 1 0 0 0B C1 0 1 0 0B CB C1. Exemple . Dans cette question, on considŁre la matrice B = 0 1 0 1 0B C@ A0 0 1 0 10 0 0 1 0(a) La matrice B est-elle diagonalisable?1/65(b) DØterminerles valeurs ...

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Extrait

CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON

CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESIII Année 2006

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

EXERCICE Dans cet exercice,ndésigne un entier supérieur ou égal à 2,etdeux nombres réels strictement positifs etB la matrice deM n (R)suivante : 0 1 00: : :: : :0 . . 0 . . 8 . . . < b i;j =sij=i+ 1 . . . 0 . . . . B=;cest à direB= (b i;j )a=avec b i;j =sij=i1 . . .. . . .. : . . . .. 0 b i;j = 0sinon B . C . @ . . 0 A 0: : :: : :00 On sintéresse aux valeurs propres deBet pour cela, pouraréel, on noteA a =BaI n , oùI n désigne la matrice unité dordren. 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1.Exemple .Dans cette question, on considère la matriceB 1 0 1 0= 0 B C @ A 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 (a) LamatriceBest-elle diagonalisable?

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