INSEEC 2001 mathematiques classe prepa hec (ect)

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• Publié par: shura
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Extrait

INSEEC MATHEMATIQUES 1`ere´epreuve(optiontechnologique)

Lescandidatsnedoiventpasfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel ´electroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’unere`glegradu´eeestautorise´e.

Exercice 1 Onconside`relesmatrices:      1 0 01 0 01 1 01 1 0      I = 01 0 A = 6−5 6 B = 2−2 2 etP = 1 0 2 0 0 13−3 41−01 1−1 1

Partie A 1. 2 (a)D´eterminerdeuxr´eelsaetbtels que :A=aA+bI −1 (b)Ende´duirequeAest inversible et exprimerAen fonction deAet deI. 2. (a) CalculerI+ 3B. 2 (b) ExprimerAen fonction deIet deB. 3. (a)Montrerparre´currencequ’ilexisteunesuite(u n ) n∈N telle que : n ∀n∈N, A=I+u n B (On montrera que∀n∈N, u n+1 =−2u n + 3) (b) Calculeru n en fonction den n (c)Ende´duireles9termesdelamatriceA .

Partie B −1 1.Enutilisantlame´thodedupivotdeGauss,montrerquePest inversible et calculerP. Onindiqueratouslesde´tailssurlacopie. −1 2. Calculerla matriceD=P AP. 3. n (a) CalculerDpour tout entier natureln. n n−1 (b)Ve´rifierparre´currenceque:∀n∈N, A=P DP. n (c) RetrouveralorsA.

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