ISFA 1998 2eme epreuve de mathematiques option b

Description

I S. F. A. 1998-1999 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION B Les calculatrices sont interdites. Les problèmes I et II sont indépendants I On considère l'expérience aléatoire suivante: R(schéma ci-contre) Une sphère de rayon r est coupée par un plan situé Hà une distance aléatoire (notée H) du centre O de la r O sphère. On suppose que la loi de H est la loi uniforme sur le segment [0,r]. On note R le rayon du cercle intersection. 1°- Exprimer R en fonction de H . En déduire l'espérance et la variance de R. 4 2On pose X = × R . Donner l'espérance puis la variance de X que l'on écrira sous la forme k.r π ième2°- On répète de manière indépendante l'expérience décrite ci-dessus. On note R le rayon obtenu à la n nn1expérience et X la variable associée définie en 1°. On note aussi X la variable × X . ∑n n kn k=1 (i) En appliquant le théorème de la limite centrale à la suite { X , n∈ N*} donner une expression approchée ndu réel λ tel que l'événement " X − r <λ " se réalise avec une probabilité de 90%. n n n1.64 21−x / 2(On donne : e dx#0.95 ) ∫2π−∞rEn déduire des expressions approchées de deux réels a et b tel que l'événement : " a < < b " se réalise n n n nX navec une probabilité de 90%. Donner un équivalent de la différence b − a quand n tend vers +∞. n n (ii) On note M la variable ...

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Extrait

I S. F. A. _________

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________

1998-1999 _________

Concours d'Entrée _______________

Durée : 4 heures OPTION B Les calculatrices sont interdites. Les problèmes I et II sont indépendants I On considère l'expérience aléatoire suivante: (schéma ci-contre) Une sphère de rayonr est coupée par un plan situé H à une distance aléatoire (notéeH) du centreOde la sphère. O On suppose que la loi deHest la loi uniforme sur le segment[0,r]. On noteRle rayon du cercle intersection. 1°- ExprimerRen fonction deH. En déduire l'espérance et la variance deR. 4 2 On poseX= ×R. Donner l'espérance puis la variance de X que l'on écrira sous la formek.r π ième 2°- On répète de manière indépendante l'expérience décrite ci-dessus. On note R le rayon obtenu à la n n n 1 expérience et X la variable associée définie en 1°. On note aussiXla variable ×X . nn ∑ k n k=1  (i)En appliquant le théorème de la limite centrale à la suite { X ,n∈N*} donner une expression approchée n du réel λ tel que l'événement " X−r<λ" se réalise avec une probabilité de 90%. nn n 1.64 2 1 −2x / (On donne :e dx#0.95) ∫ 2π −∞ r En déduire des expressions approchées de deux réelsaetbtel que l'événement : " a< <b " se réalise n n n n X n avec une probabilité de 90%. Donner un équivalent de la différence b−a quandntend vers+∞. n n  (ii)On note M la variable aléatoire ),.., RMax( R . n 1n Donner la fonction de répartition de la loi de la variable M . n r 1 En déduire un réel c tel que l'événement "1< <" se réalise avec une probabilité de 90%. n M c n n 1 Donner un équivalent, quandntend vers+ ∞  , de la différence −1 . c n Commentaires.

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