Isfa 2000 1ere epreuve de mathematiques 1ere epreuve de mathematiques 2000

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I. S. F. A. 2000-2001 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Les trois exercices sont indépendants. Calculatrices non autorisées. EXERCICE 1 π dt 1°) Pour a et b réels strictement positifs calculer l’intégrale I(a,b)= . (On pourra poser x=tg(t)). 222∫ab+ sint0 2°) Soit tf→ ()tune fonction positive et continue sur [c,+∞ ) (c>0) et λ un réel strictement positif . ∞ cn+λ(1+)Montrer que l’intégrale généralisée f(td) tet la série [(f td)t] , n∈N*, sont de même ∑∫ ∫cn+λcnature. (N* désigne l’ensemble des entiers strictement positifs). (1n+π)αtdt 3°) Soient α et β deux réels et soit la suite { u = , n∈N*}. n β 2∫1s+ttinnπEn utilisant un encadrement de u , montrer que u est équivalent au voisinage de l’infini à n n(1n+π) (1n+π)dt dtααn π . Déterminer un équivalent de v = (on distinguera les cas β>0, n∫ β 2 ∫ β 21s+ttin 1s+ttinnπ nπβ<0 et β=0). ∞αt 4°) On considère l’intégrale J(α,β) = dt . Déduire de 3° l’ensemble des couples (α,β) tels que ∫ β 21s+ttinπl’intégrale J(α,β) converge. Donner une représentation graphique de cet ensemble. EXERCICE 2 N désigne l’ensemble des entiers positifs ou nuls et N* l’ensemble des entiers strictement positifs. Soit {rn, ∈N} une suite à valeurs dans N*. nn ri A la suite {rn, ∈N} on associe la suite {un, ∈N} définie par la relation u = n n n ∏ r +1i=0 i 1°) Montrer que la suite {un, ∈N} ...

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Extrait

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PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures

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2000-2001 _________ 

Concours d'Entrée _______________ 

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I. S. F. A. _________ 

4°)

∞ Montrer que lintégrale généralist dt, ée ∫ (t)dtet la série ∑ [ ∫ c+λ λ+ (n+1) ( ) ]n ∈ ,*N de même sont c n c nature. (N* désigne lensemble des entiers strictement positifs). (n1) α Soientαetβdeux réels et soit la suite {u n = + ∫ π 1+ t β d i t 2 ,n ∈ N*}. s n nπ t t En utilisant un encadrement deu n  , montrer queu n  est équivalent au voisinage de linfini à (n1) (n+1)π dt n α π + α ∫ π π 1+t β d s t in 2 t  . Déterminer un équivalent dev n = ∫ π 1+t β sin 2 t  (on distinguera les casβ>0, n n β<0 etβ=0).

Soitt→f(t) une fonction positive et continue sur [c,+∞) (c>0) etλun réel strictement positif .

Pouraetbréels strictement positifs calculer lintégraleI(a,b)= 0 ∫ π a 2 +b d 2 t sin 2 t . (On pourra poserx=tg(t)).

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EXERCICE 2

∞ α On considère lintégraleJ(α,β) = ∫ 1+t β t sin 2 t dt. Déduire de 3° lensemble des couples (α,β) tels que π lintégraleJ(α,β Donner une représentation graphique de cet ensemble.) converge.

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2000

Les trois exercices sont indépendants. Calculatrices non autorisées.

3°)

2°)

1°)

EXERCICE 1

Montrer que la suite {u n ,n∈N} est monotone. En déduire sa convergence. On noteλla limite de la suite {u n ,n∈N}. a) Donner un exemple de suite {r n ,n∈N} telle que la suite associée {u n ,n∈N} soit de limite nulle. b) Montrer que la conditionλ ≠ équivalente à la convergence de la série0 est ∑ r 1 . n

Cette question a pour objet de construire, pour un réel donnéλde lintervalle[0 , 1[une suite{r n ,n∈N}

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n r A la suite {r n ,n∈N} on associe la suite {u n ,n∈N} définie par la relationu n = ∏ =0 r i +1 i i

telle que la suite associée{u n ,n∈N}aitλpour limite. a) Soit λ ∈ [0,1[ . Montrer quil existe un unique entierrdeN* tel que : r−1r ≤ λ <.  r r+1

3°)

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2°) 

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Ndésigne lensemble des entiers positifs ou nuls etN* lensemble des entiers strictement positifs. Soit {r n ,n∈N} une suite à valeurs dansN*.

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1°)

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