ISFA 2002 1ere epreuve de mathematiques

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I. S. F. A. 2002-2003 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites. EXERCICE ∞ 11°- Montrer que l’intégrale ln (1+ )dx est convergente. 2∫ x 02°- Montrer que cette intégrale est égale à π. PROBLÈME A Soit P un polynôme non constant, à coefficients réels positifs dont la somme est égale à 1. Pour P de degré k on notera le polynôme P par : k ki Px()= px avec pour tout i variant de 0 à k : p ≥ 0 et p = 1 . ∑ i i ∑ ii=0 i=01°- Montrer que la fonction polynôme P réalise une bijection du segment [0,1] sur le segment [p ,1] . 02°- On note E l’ensemble des solutions de l’équation P(x)=x appartenant au segment [0,1] . (i) Montrer que le réel 1 appartient à E. (ii) Montrer que, si P’(1) est strictement supérieur à 1, E est égal à deux réels distincts λ et 1. Montrer que dans le cas contraire E est soit réduit au singleton {1}, soit égal au segment [0,1]. Donner le (ou les) polynômes pour lequel (lesquels) E est égal au segment [0,1]. ième 3°- Pour n entier supérieur ou égal à 1 on note P le polynôme n itéré du polynôme P : n (P (x)=P(x) ;P (x)=P(P (x) ; P (x)=P(P (x) ; etc) 1 2 1 3 2(i) Pour P polynôme du premier degré, déterminer la suite des polynômes nP→ . Pour x réel de [0,1] ndonner alors la limite de la suite nP→ (x) n(ii) P est ici de degré k strictement supérieur à 1. On note u la suite définie ...

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I. S. F. A. _________

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________

Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites. E XERCICE ∞ 1 1°- Montrer que l’intégrale ln (1+ 2 )dxest convergente. ∫ 0 x 2°- Montrer que cette intégrale est égale à π.

2002-2003 _________

Concours d'Entrée _______________

P ROBLÈME A Soit P un polynôme non constant , à coefficients réels positifs dont la somme est égale à 1. Pour P de degré k on notera le polynôme P par : k k i P(x)=p xavec pour toutivariant de 0 à k :p≥0 etp=1 . ∑∑ i ii i=0i=0 1°- Montrer que la fonction polynômePréalise une bijection du segment [0,1] sur le segment [p 0 ,1] . 2°- On noteEl’ensemble des solutions de l’équationP(x)=xappartenant au segment [0,1] . (i) Montrerque le réel 1 appartient àE. (ii) Montrerque, siP’(1) est strictement supérieur à 1,Eest égal à deux réels distincts λ et 1. Montrer que dans le cas contraireEest soit réduit au singleton {1}, soit égal au segment [0,1]. Donner le (ou les) polynômes pour lequel (lesquels)Eest égal au segment [0,1]. ième 3°- Pournentier supérieur ou égal à 1 on noteP n le polynômenitéré du polynômeP:  (P 1 (x)=P(x);P 2 (x)=P(P 1 (x) ; P 3 (x)=P(P 2 (x) ; etc) (i) PourPpolynômespolynôme du premier degré, déterminer la suite desn→P . Pourxréel de [0,1] n donner alors la limite de la suiten→P(x) n (ii)Pest ici de degrékstrictement supérieur à 1. On noteula suite définie parn→u=P(0) . n n Montrer que la suiteuest croissante et majorée. En déduire sa convergence. Donner suivant le signe deP’(1)-1 la limite de la suiteu. (iii) Etudier,pourxfixé de ]0,1], la limite de la suiten→P(x) . (On discutera en fonction de la valeur de n P’(1) et, pourP’(1) strictement supérieur à 1, de la position dexpar rapport à λ .)

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