ISFA 2005 2eme epreuve de mathematiques option a

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\\#\\\\ I. S. F. A. 2005-2006 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculatrice interdite OPTION A EXERCICE 1 Le but de cet exercice est le calcul des deux intégrales +∞ +∞dt dt−−ttCx==e cos xt et Sx e sin xt . () () () ()∫∫oo11) Etablir les relations : Cx''=−xSx− Sx () () ()21Sx=+xCx C x .() () ()212) En déduire que C et S sont deux fonctions, de classe C , vérifiant sur le système différentiel : ⎛⎞2⎧21++x ux' xux=−vx⎜⎟ () () ()⎪⎝⎠ ⎨221x vx' xvxux . () () ()⎪⎩22−+1tx2 ()x 12⎛⎞ e−t3) Montrer que la fonction Gx=+e dt dt est constante sur . Que vaut cette constante ? ()⎜⎟∫∫ 2oo⎝⎠ 1+ t()+∞ 2−tEn déduire la valeur de l’intégrale edt puis la valeur de C 0 . ()∫o4) Montrer que si αβx et x sont deux fonctions dérivables vérifiant sur : () ()2⎧21+αx '()xx=−β() ⎧α=0 π() ()⎪ ⎪ et ⎨ ⎨2β=00 .21+βx '=α() () () ⎪⎪ ⎩⎩22Alors α+xxβ =πpour tout x de . En faisant un changement de fonction inspirée par ce résultat, trouver () ()αβx et x . () ()5) Trouver Cx et Sxpour tout x réel. () ()PROBLEME k kn= ou pest muni de la structure euclidienne standard. On utilise les conventions usuelles du calcul ()⎡x ⎤1⎢ ⎥x2⎢ ⎥matriciel un vecteur x est écrit spontanément en colonne x = . Si on veut l’écrire en ligne, on écrit ⎢ ⎥⎢ ⎥x⎢ ⎥⎣ k ⎦T k TTx = xx,, …,x . De sorte que si y est un autre ...

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I. S. F. A. _________

20052006  _________

 Concoursd'Entrée  _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculatrice interdite OPTION A EXERCICE 1 Le but de cet exercice est le calcul des deux intégrales +∞ +∞ dt dt −t−t C ( x ) =ecos ( xt )  etS ( x ) =esin ( xt ) . ∫ o t ∫ o t 1 1)Etabli : r les relations C' ( x ) = −xS' ( x ) −S ( x ) 2 1 S' ( x ) =xC' ( x ) +C ( x ) . 2 1 2)En déduire queCetSsont deux fonctions, de classeC, vérifiant sur \ le système différentiel : ⎛ ⎞ ⎧ 2 ⎜ 1+ ⎟ u' ( x ) +xu ( x ) =−v ( x ) 2 ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⎛ ⎞ 2 2 ⎜ 1+ ⎟ v' ( x ) +xv ( x ) =u ( x ) . ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ 2 2 −1+t x 2 ( ) x 2 1 ⎛ ⎞ e −t constante sur \ . 3)Montrer que la fonction G ( x ) = ⎜ e dt ⎟ +dt vaut cette constante ?est Que ∫ o ∫ o 2 ⎝ ⎠ 1+t ( ) +∞ 2 −t En déduire la valeur de l’intégrale e dt puis la valeur de C ( 0 ) . ∫ o 4)Montrer que si α ( ) etβ ( x ) sont deux fonctions dérivables vérifiant sur \ : ⎧ 2 ⎧ 0 π 2 1+ α' ( x ) =− ( x ) α = ⎪ ( ) ⎪ ( ) ⎨  et ⎨ 2 2 1+ β' ( x ) =α ( x ) β ( 0 ) =0 . ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 2 2 Alors α ( x ) + ( x ) = π pour toutxde \ . En faisant un changement de fonction inspirée par ce résultat, trouver α ( ) etβ ( x ) . 5)Trouver C ( x )  etS ( x ) pour toutxréel. PROBLEME k \ ( k=noup ) est muni de la structure euclidienne standard. On utilise les conventions usuelles du calcul ⎡ ⎤ 1 ⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎥ matriciel un vecteurx estécrit spontanément en colonne x= . Si on veut l’écrire en ligne, on écrit ⎢ ⎥ # ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ k ⎦ TkT T , , , calaire dexpar = ( x 1 x 2 …x k ) sorte que si. Deyest un autre vecteur de \ , y=y x désigne le produit s T yet=x xla norme (euclidienne) du vecteurx.

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